13.4Контрольні запитання

1 Назвіть способи виконання символьних операцій в MathCad.

2 Які Ви знаєте символьні операції із виділеними виразами?

3 Які Ви знаєте символьні операції із виділеними змінними?

4 Які Ви знаєте символьні операції перетворення?

5 Розв’язок систем диференційних рівнянь у Math CAD можна здійснити за допомогою яких функцій?

6 Розв’язок окремого диференційного рівняння у Math CAD можна здійснити за допомогою якої функції?

7 Для розв`язку диференціальних рівнянь використовується функція rkfixed(y,x1,x2,npoints,D). Аргумент D – це…

13.5Рекомендована література

1 Ганженко Н. С. Інформатика та обробка геологічних даних. Конспект лекцій. – ІФНТУНГ, 2003 – 157с.

2 Дьяконов В. Mathcad 2001. учебный курс. – СПб.: Питер, 2001. – 624 с.

Лабораторна робота №14 Розв’язок рівнянь та систем рівнянь засобами пакету MathCAD

14.1Мета і завдання роботи

Навчитися розв’язувати рівняння та системи рівнянь засобами MathCad.

14.2Основні теоретичні положення

Нелінійні рівняння можна розділити на два класи - алгебраїчні і трансцендентні. Алгебраїчні рівняння – це рівняння, що містять лише алгебраїчні функції (цілі, раціональні, ірраціональні). Зокрема, многочлен є цілою алгебраїчною функцією. Рівняння, що містять інші функції (тригонометричні, показникові, логарифмічні та інші) називаються трансцендентними.

Методи розв’язку нелінійних рівнянь діляться на дві групи: точні методи; ітераційні методи.

Точні методи дозволяють записати корені рівняння у вигляді деякого кінцевого співвідношення (формули). Проте, багато рівнянь та систем рівнянь не мають аналітичних розв’язків. Це відноситься до більшості трансцендентних рівнянь. Доведено, що неможна побудувати формулу, за якою можна було би розв’язати довільне алгебраїчне рівняння більше четвертого степеня. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, що відомі лише приблизно, і, відповідно, завдання точного визначення коренів рівняння не має змісту. Для їхнього розв’язку використовуються ітераційні методи з певною степінню точності.

Розв’язок одного рівняння засобами Mathcad|

Для простих рівнянь у вигляді f(x) = 0 розв’язок в Mathcad знаходиться за допомогою функції root(f(х), х). Функція повертає значення змінної х, що належить відрізку [а, b], при якому вираз або функція f(х) прирівнюються до 0. Цій змінній перед використанням функції root необхідно присвоїти числове значення. Mathcad використовує його як початкове наближення при пошуку кореня; а, b – граничні параметри відрізка пошуку кореня розв’язку, але є необов'язковими, а якщо використовуються, то мають бути дійсними числами, причому а < b.

Якщо після багатьох ітерацій Mathcad не знаходить відповідного наближення, то з'явиться повідомлення “Not converging” (“відсутня збіжність”). Ця помилка може бути спричинена такими причинами:

• Рівняння не має кореня розв’язку.

• Корінь рівняння знаходиться далеко від початкового наближення.

• Вираз має локальні max і min між початковим наближенням і коренем розв’язку.

• Вираз має розриви між початковими наближеннями і коренем розв’язку.

• Вираз має комплексний корінь, але початкове наближення було дійсним.

Щоб встановити причину помилки треба дослідити графік f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x)= 0 і, якщо вони є, то визначити приблизно їхні значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, тим швидше буде root сходитися.

Рекомендації до використання функції root: для зміни точності, з якою функція root шукає корінь, потрібно змінити значення системної змінної TOL . Якщо значення TOL збільшується, функція root сходитиметься швидше, але відповідь буде менш точна. Щоб змінити значення TOL для всього робочого документа, виберіть команду Математика (Math) → Параметри (Options) → Змінні (Built-in Variables) → Допуск збіжності (TOL).

Якщо два корені знаходяться поблизу один від одного, необхідно зменшити TOL щоб розрізнити їх.

Знаходження кореня полінома

Для знаходження кореня виразу, що має вигляд

аnxn + ... + а2x2 + а1x1 + а0

краще використовувати функцію polyroots, ніж root. На відміну від функції root, функція polyroots не вимагає початкового наближення і повертає відразу всі корені, як дійсні, так і комплексні.

Функція рolyroots(v) повертає корінь полінома степеня n. Коефіцієнти полінома знаходяться у векторі v довжини n + 1. Повертає вектор довжини n, що складається з кореня полінома. Аргументи: v – вектор, що містить коефіцієнти полінома.

Рисунок 26 - Розв’язок рівнянь засобами Mathcad|