Контрольные вопросы

1. Из каких дополнительных условий могут быть определены значения произвольных постоянных, фигурирующих в решениях дифференциальных уравнений?

2. В каких конструируемых условиях модель Лотки может применяться к изучению ритмов популяций, и что в таком случае должны отражать переменные в уравнениях?

3. Обоснуйте, что стационарное состояние действительно описывает равновесие, а не максимумы и минимумы численностей. Для этого определите значения вторых производных по времени (задание на дом).

Литература

1. Мэрди Дж. Модели популяций. В сб. "Математическое моделирование". Под ред. Эндрюса Дж. и Мак-Лоуна Р. М.: Мир, 1979.-С. 118-127.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.:Н., Физматгиз, 1984. - С.15-24

3. Романовский Ю.М. и др. Что такое математическая биофизика. М.: Просвещение, 1974. - С. 82-88.

Практическая работа № 24

РАСЧЕТ ПЛАНКОВСКИХ КОНСТАНТ

Разделы программы: Элементарные частицы и фундаментальные взаимодействия. Происхождение Вселенной.

Необходимые предварительные знания: Начала классической механики, молекулярно-кинетической теории и квантовой физики.

Теоретическая часть

По современным естественнонаучным воззрениям все объекты природы и сама природа в целом (т.е. Вселенная) подчиняются единым принципам эволюции. При этом подразумевается, что база такой эволюции, описываемая в науке законами природы, остается неизменной во времени. Это отражается в так называемых мировых (универсальных) константах, входящих в математические формулы законов природы. Комбинирование универсальных констант, т.е. объединение их в более сложные математические соотношения - один из путей углубленного познания природы. Ибо такое комбинирование с необходимостью включает установление взаимоотношений между различными фундаментальными законами. Например, между гравитацией и электромагнетизмом, относительностью и внутриядерными процессами и т.д.

Один из наиболее эффективных и перспективных подходов в "конструировании констант" получил название планковского по имени ученого М.Планка, впервые применившего его в 1900 г. в теоретических расчетах квантов (т.е. минимальных порций) энергии элементарных частиц. Планковские константы, изучаемые в данной работе, как предполагают ученые, определяют границы применимости физической теории к явлениям объективного мира. Опытная проверка такого предположения является делом будущего.

Ход работы

Примечание: Данное занятие в обязательном порядке проводится для студентов-естественников: физиков, химиков, биологов, математиков и т.д.

1. Выведите размерности постоянных: Планка, гравитационной и скорости света в вакууме в системе измерений СИ и запишите их значения в этой системе с точностью до трех значащих цифр.

Ответ:

h=6,63 10^-34Дж  с;

=6,67 10^-11

С=3,00 10 ⁸

Примечание: В последней записи два нуля являются значащими цифрами, т.к. получены при отбрасывании последующих цифр с использованием правила округления с поправкой. Современное опытное значение скорости света: С=2,997925 10 ⁸

2. Выведите соотношение между тремя вышеуказанными константами и планковской массой и рассчитайте значение последней.

Решение:

Примечание: Индексом "р" здесь и далее отмечены планковские величины.

По современным научным представлениям m_p - максимально возможная масса элементарной частицы.

3. Найдите значение планковской длины c привлечением "второго закона Ньютона": .

Ответ:

По современным научным представлениям l_p определяет квант пространства. Экспериментальная физика пока в состоянии уверенно исследовать материальные процессы в пределах расстояний не менее, чем 10^-15 - 10^-18 м.

4. Найдите значение планковского времени.

Ответ:

По современным представлениям t_p определяет квант времени. Экспериментальная наука пока так же далека от исследования подобных интервалов времени, как и от исследования квантов пространств. Ей пока доступны только 10^-24 - 10^-26 с.

5. Найдите значения плакновской силы и планковской энергии.

Ответ: F_p = 1,21 • 10⁴⁴ H; E_p = 4,90 • 10⁹ Дж .

По современным воззрениям эти величины представляют соответствующие предельные значения, которые могут проявляться в "элементарных взаимодействиях" природных объектов.

6. Определите планковскую температуру.

Решение: Из классических соображений температура является мерой кинетической энергии, которой обладает материальная точка (элементарная частица) в процессе хаотического движения.

k -постоянная Больцмана.

По современным представлениям Т_р - максимально возможная температура в природе. Для сравнения: максимальная температура, достижимая в земных условиях (при взрыве водородной бомбы): Т~10⁷ K.

7. Определите значение планковской плотности (вещества).

Решение: Используя расчетные значения максимальной массы и минимального объема, получим:

Для сравнения: плотность Земли (в среднем) 5,5·10³

Плотность ядерного вещества: _яд~10¹⁷

Максимальная из известных по опыту плотностей - для нейтронной звезды - составляет ~10¹⁸

8. Полученные выше формулы и соответствующие числовые значения планковских констант, несмотря на "школьный" способ их выведения и явно недостаточную строгость подхода, практически не отличаются от полученных в теоретической физике с использованием там самых современных научных концепций. Различие состоит в том, что в "серьезных" формулах вместо h используется ħ - так называемая приведенная постоянная Планка, или постоянная Дирака.

ħ

Замену h на ħ можно объяснить только соображениями рационализации, но не научной строгости. Числовые же отличия в соответствующих планковских константах составляют менее порядка величины (объясните - почему?), да и то не для всех из них.

Резюме

Использованные простейшие математические действия с формулами. известными из элементарной физики, несмотря на явно искусственный характер, позволяют получать фундаментальные результаты, относящиеся к области самых современных научных знаний.