Частичные доказательства

Рецепт – это непосредственное словесное выражение опыта. Очевидно, что передавать­ся такое знание может только в том случае, когда у собеседников есть некоторый общий опыт, некоторое общее знание по поводу того, что из себя пред­ставляет мир или хотя бы та часть мира, с которым они непосред­ственно соприкасаются в жизни. Эти общие истины, или как назы­вают их в европейской традиции - общие места, могут стать основой и для более развернутой системы знаний. На основе таких именно общих мест и были произведены, вероятнее всего, доказательства некоторых теорем, которые традиция приписывает Фалесу или Пифагору. К их времени (Фалес умер в середине VI века до Р.Х., Пифагор жил во второй половине того же столетия) геометрия как наука еще не сложилась, но считается, что Фалес вписал в окружность прямоугольный треугольник, а Пифагор доказал знаменитую теорему о соотношении сторон прямоуголь­ного треугольника, получившую впоследствии его имя. Частичным такой тип доказательства может считаться потому, что еще нет полного дедуктивного (об этом ниже) описания некоторой области, нет строгого построения, которое в принципе должно исчерпать определенную сферу.

Содержательная дедуктивная теория

Гений Аристотеля (384-322 гг. до Р.Х.) выразился прежде всего в том, что он создал первую в историй систему знания. Это то, что потом получило название Аристотеле­вой или формальной логики. Была открыта дедукция как фунда­ментальный принцип построения строгого знания. В чем же он заключается? В одном из своих диалогов ("Горгий") Платон вкладывает¹ в уста своего учителя Сократа различение двух типов убеждений, создаваемых речами. Одно из них - убеждение, дающее веру вез знания, а другое - дающее знание. Софисты, обучавшие греческих юношей, стремились прежде всего научить их искусству убеждения с помощью ораторского искусства и различных приемов доказательств, в том числе и ложных - так называемых софизмов. Вот один из возможных примеров такого ложного умозаключения: "Что ты не терял, то у тебя есть. Ты не терял рогов. Значит ты рогат".

Аристотель, бывший учеником, а затем и оппонентом Платона, исследовал обе эти стороны речи. Возможность и способы убеждения - в своей "Риторике" [8], а приемы ложного умозаключения - в труде "О софистических опровержениях" [7]. В последнем он показывает, каким образом возникают (или сознательно исполь­зуются) логические несообразности и как можно их обнаружить. Но еще не было известно, каковы признаки и основания правиль­ного рассуждения. Гениальное открытие Аристотеля как раз и состоит с том, что он создал систему, описывающую логические возможности правильного {по форме, поэтому эту логику назы­вают формальной; фактическая истина не является предметом логики) доказательства, или вывода, то есть открыл принцип дедуктивного построения знания.

Этот принцип блестяще использовал древнегреческий мате­матик Евклид. Заслуга его прежде всего в том, что он не только собрал, но и систематизировал все тогдашнее геометрическое зна­ние и изложил его в виде дедуктивной аксиоматической теории. Строится она следующим образом. Объекты, о которых должна Будет идти речь (точка, линия, плоскость), получают явное опре­деление. Затем принимаются аксиомы (или постулаты), описывающие основные отношения между заданными объектами ("через точку, лежащую вне данной прямой можно провести одну и толь­ко одну линию, параллельную данной прямой"). И затем из этих, принятых, в сущности, на веру, аксиом по строгим правилам логи­ки (которая не формулируется явно, а как бы просто имеется в виду) выводятся следствия или, что то же самое, доказываются теоремы. Таким образом, геометрия строится как логическая це­почка определения - аксиомы - теоремы. И ничто, ни одно суж­дение не может войти в содержание данной теории, если это не определение, не аксиома или не выведенная в данной системе теорема.