7. Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть измерение состоит из небольшого числа отсчетов n и пусть значения отсчетов имеют нормальное распределение. Пусть по этим значениям отсчетов определено выборочное среднее , выборочное СКО s и выборочное СКО среднего

Чтобы оценить значение доверительной погрешности зададим значение доверительной вероятности  и выразим доверительную погрешность в единицах СКО.

При заданных значениях доверительной вероятности , количестве отсчетов n и нормальном характере распределения отсчетов коэффициент доверия называется коэффициентом Стьюдента, обозначается как , а его значение однозначно определяется с помощью таблицы коэффициентов Стьюдента.

Значения для различных значений доверительной вероятности  и числа отсчетов n

n	
	0.9	0.95	0.99
2	6.31	12.71	63.7
3	2.92	4.30	9.92
4	2.35	3.18	5.84
5	2.13	2.77	4.60
6	2.02	2.57	4.03
7	1.943	2.45	4.71

После того как значение найдено доверительное значение погрешности измерения определится по формуле:

Результат измерения представляется в виде

, 

Это соотношение надо понимать следующим образом. Если значения отсчетов распределены нормально и известен параметр этого распределения s, то после проведения n отсчетов и нахождения среднего можно утверждать, что истинное значение физической величины X с вероятностью  находится в пределах доверительного интервала

или

Замечание. Если отсчеты не распределены нормально, то использование коэффициентов Стьюдента неправомерно.

Задача. По результатам выборки, состоящей из 6 отсчетов, составлена таблица

№	xi
1	19,8	0,3	0,09
2	20,3	0,2	0,04
3	20,4	0,3	0,09
4	20,3	0,2	0,04
5	20,2	0,1	0,01
6	19,6	0,5	0,25

Среднее по выборке

.

Выборочное СКО среднего

.

Доверительная погрешность при надежности 90%

.

Результат: ; =0.9.

Тема 9 погрешности косвенных измерений

Пусть измеряемая физическая величина q является функцией нескольких независимых аргументов x,y,...,z т.е.

q=f(x, y, ..., z).

Пусть в результате прямых измерений найдены значения x,y,...,z с погрешностями .

Погрешность косвенного результата оценивается по формуле

В большинстве случаев практическое применение этой общей формулы исчерпывается некоторыми простыми следствиями из нее. Сформулируем их в виде правил.

Тогда:

1. Если измеренные значения используются для вычисления функции, состоящей только из сумм и разностей, т.е

,

то абсолютная погрешность функции равна квадратичной сумме абсолютных погрешностей аргументов

2. Если измеренные значения используются для вычисления функции, состоящей только из произведений и частных, т.е

,

то относительная погрешность функции равна квадратичной сумме относительных погрешностей аргументов

3. Если x используется для вычисления степенной функции, т.е.

,

то относительная погрешность функции равна

4. Если x используется для вычисления функции

q=Cx,

где C не имеет погрешности, то абсолютная погрешность функции равна

Пример.

При определении ускорения силы тяжести измерили период свободных колебаний маятника Т и длину подвеса  , а искомое ускорение g находится как функция этих двух аргументов по формуле

.

Так как функция представляет собой комбинацию произведений и частного, то удобнее сначала найти относительную погрешность. Учтем, что множитель 4² не имеет погрешности. В соответствии с правилами (2.37) - (2.39) формула для расчета относительная погрешность рассчитанного значения ускорения имеет вид

.

Отсюда находим абсолютную погрешность .