3) Атрибутивный;

4) количественный.

12. Дискретным рядом распределения является ряд, в котором признак, положенный в основание группировки:

1) непрерывный или дискретный, но варьирует в широких пределах;

2) Дискретный, и число его разновидностей невелико;

3) атрибутивный;

4) количественный.

13. Группировка и сводка материала –это

1. обобщение данных наблюдения для получения абсолютных величин (учетно-оценочных показателей) явления;

2.массовый научно организованный сбор первичной информации об отдельных единицах изучаемого явления;

3. закономерность, присущая явлению;

4. теория статистики.

14. Укажите методы статистики, применяемые на второй стадии статистического исследования (сводка и обработка первичной информации):

а) сводка и группировка;

б) статистические таблицы;

в) массовое статистическое наблюдение;

г) статистические ряды распределения;

д) метод обобщающих статистических показателей.

15. Интервальным рядом распределения является ряд, в котором признак, положенный в основание группировки:

1) Непрерывный или дискретный, но варьирует в широких пределах;

2) дискретный, и число его разновидностей невелико;

3) атрибутивный;

4) количественный.

16.Какие виды графиков могут использоваться для изображения рядов распределения:

а) диаграммы сравнения;

б) кумулята;

в) полигон.

17.Какие виды диаграмм можно выделить по форме геометрического образа:

а) плоскостные;

б) статистические карты

в) объемные

18. Для изображения взаимосвязи между факторным и результативным признаками на графике применяются диаграммы:

а) линейные;

б) столбиковые;

в) структурные.

Тема 1.4.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Общие принципы построения статистических показателей. Абсолютные величины, их виды, значение и единицы измерения.

Понятие об относительных величинах. Виды относительных величин, способы их расчета и формы выражения. Выбор оснований при построении относительных величин.

Виды средних величин и их значение в социально-экономических исследованиях. Средняя арифметическая и другие степенные средние.

Статистический показатель – обобщающая количественная характеристика изучаемого объекта или его свойства в условиях качественной определенности. Качественная определенность показателя заключается в том, что он непосредственно связан с внутренним содержанием изучаемого явления или процесса, его сущностью. В отличие от признака показатель получается расчетным путем (от простого подсчета единиц совокупности и суммирования значений признака до более сложных вычислений.

В зависимости от методов расчета обобщающие показатели могут быть абсолютными, относительными или средними. Любой показатель должен быть точно определенным, что выдвигает ряд требований к его наименованию:

- статистическая структура показателя;

- его содержание;

- позиция в классификации, совокупность объектов;

- единица измерения;

- время;

- специальные уточнения.

В зависимости от охвата единиц совокупности показатели подразделяются на индивидуальные, характеризующий отдельную единицу совокупности, и сводные, характеризующие группу или всю совокупность в целом. Сводные показатели подразделяются на объемные и расчетные.

Объемные показатели получают путем сложения значений признака отдельных единиц совокупности. Полученная величина, называемая объемом признака, может выступать в качестве объемного абсолютного показателя, а может сравниваться с другими объемными показателями для получения объемных относительных показателей и объемных средних показателей (например, фондовооруженность или средняя стоимость основных фондов).

Расчетные показатели, вычисляемые по различным формулам, служат для решения отдельных статистических задач. Они также могут быть абсолютными, относительными или средними.

Абсолютные величины отражают физические параметры изучаемых статистикой процессов и явлений, а также объем совокупности (число ее единиц). Абсолютные показатели всегда являются именованными числами и могут выражаться в натуральных, трудовых или стоимостных единицах измерения.

Относительные величины представляют собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражают соотношение между количественными характеристиками процессов и явлений. Различают относительные показатели динамики, структуры, координации, сравнения, расчетного задания и выполнения его, интенсивности.

Средние величины

Для изучения закономерностей развития социально-экономических явлений в статистике используются средние величины. Широкое применение средних величин обусловлено их незаменимостью в анализе явлений общественной жизни. Так, одна из задач органов статистики — характеристика уровня жизни населения в целом, а в частности — уровня его доходов по социальным группам. Сравнение индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, служащего невозможно. Не представляет интереса и сравнение суммарных доходов отдельных социальных групп, так как эти группы различаются по численности (например, численность рабочих и численность лиц, занятых в предпринимательстве), поэтому при анализе лучше использовать средние величины, а именно среднюю величину доходов на одного человека или на одну семью по каждой группе.

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени, игнорируя различия отдельных единиц. Она служит мерой признака на единицу совокупности (в отличие от относительных величин, служащих мерой соотношения показателей). Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц колеблются в ту или иную сторону (от средней) под влиянием множества факторов (существенных и случайных). В средней величине обобщаются индивидуальные значения признака и отражается влияние общих условий, наиболее характерных для данной совокупности в конкретных условиях места и времени. Сущность средней заключается в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленных действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием основных факторов.

Условия правильного применения средней величины следующие:

- средние величины должны исчисляться только по качественно однородным совокупностям (поэтому метод средних используют в сочетании с методом группировок);

- cредняя должна исчисляться по совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц;

- Каждая средняя характеризует изучаемую совокупность лишь по какому-то одному признаку. Для всесторонней характеристики необходимо использовать систему взаимосвязанных средних величин.

Средняя должна вычисляться исходя:

- из социально-экономического признака, подлежащего осреднению;

- из характера исходных статистических данных, по которым определяется средняя;

Средние величины, характеризующие совокупность в целом, называют общими, а средние , отражающие особенность группы-групповыми. Сочетание общих и групповых средних расширяет границы анализа, позволяет проводить сравнения во времени и пространстве. Форма , вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели исследования, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных.

Виды средних степенных величин

Средние величины делятся на две основные категории (степенные и структурные).

При расчете средних степенных используют следующие элементы:

Варианта (X) - Признак, для которого исчисляется средняя величина, является варьирующим,осредняемым. Единицы варьирующего признака, принимающие определенное числовое выражение, есть варианты.

Число единиц (n) - Количество вариант в исследуемой совокупности.

Веса, частоты (f) - Показатели повторяемости вариант в исследуемой совокупности.

В общем виде формула степенной средней имеет вид:

• cредняя степенная простая,

- средняя степенная взвешенная,

где к- показатель степени.

Средняя степенная простая применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности один или одинаковое число раз. Средняя степенная взвешенная применяется в случае, если каждая варианта Х встречается в совокупности неодинаковое число раз, т.е. по сгруппированным данным.

Степенные средние (гармоническая, геометрическая, арифметическая, квадратическая, кубическая, биквадратическая и т.д) могут быть определены по формулам, зависящим от значения показателя степени применяемой средней. С увеличением показателя степени к соответственно увеличивается средняя величина.

1. Средняя гармоническая : к=-1;

простая: ,

взвешенная: ,

г де ;

x_i – индивидуальное значение признака, вариант;

f_i – частота , или статистический вес варианта;

n - число единиц совокупности;

Средняя гармоническая применяется в случае, если известны варьирующие обратные значения признака. Ее часто рассматривают как величину, обратную средней арифметической.

2. Средняя геометрическая: к=0;

простая: ,

взвешенная: ,

где П – знак умножения.

Наиболее широкое применение средняя геометрическая получила для определения средних темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

3. С редняя арифметическая: к=1;

простая: ,

взвешенная: .

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных ее единиц.

3. С редняя квадратическая: к=2;

простая: ,

взвешенная: .

Средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации.

Для одной и той же совокупности существуют строго определенные соотношения между разными видами средних. Эти соотношения называют правилом мажорантности средних . Правило мажорантности средних величин (чем выше степень, тем больше величина средней) можно записать в виде:

Средняя величина, являясь характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на итоговый (определяющий) показатель, связанный со всеми единицами совокупности (объем затрат, выручки, фонд зарплаты и т.д.). При замене индивидуальных значений признака их средней величиной определяющий показатель должен сохранять свое значение (средняя арифметическая – общий объем, средняя гармоническая – итоговая величина, обратная индивидуальным значениям признака, средняя геометрическая – сумма произведений исходных величин, средняя квадратическая –сумма квадратов исходных величин).

Методика расчета средних степенных приведена в табл. 1.6

Таблица 1.6

Методика расчета средних степенных

Вид средней	Формулы расчета показателей
	Простая средняя	Взвешенная средняя
Средняя гармоническая
Средняя геометрическая
Средняя арифмети­ческая
Средняя квадратическая
Средняя кубическая
Средняя биквадратическая
Средняя к-ой степени

Средняя арифметическая

Основной формой средних является средняя арифметическая. Формула ее прямо отвечает определению средней величины, как обобщенной характеристики единицы совокупности:

или

То есть, все значения единиц нужно просуммировать и разделить на число единиц. В совокупностях, в которых одни и те же значения многократно повторяются, проводят группировку данных и объем совокупности определяют путем перемножения (взвешивания) его вариантов на число единиц в группах и только потом суммируют итоги по группам и делят на сумму частот (весов).

Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних величин. Она обладает рядом математических свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и в некоторых случаях используются для упрощения ее расчетов. Основные из них следующие:

1. - сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равна нулю. Поэтому среднюю можно назвать центром распределения данных: значения ниже и выше средней величины взаимно уравновешиваются.

2. ² = min - сумма квадратов отклонений от

средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от любой другой величины А.

3. - Если от каждой варианты отнять какое-

либо произвольное число А, то новая средняя уменьшится на то же число.

4. - Если к каждой варианте прибавить какое-

либо произвольное число А, то новая средняя увеличится на то же число.

5. - Произведение средней на сумму частот

в сегда равно сумме произведений вариант на частоты.

6 . - Если каждую варианту разделить на какое-

либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз.

7 . - Если каждую варианту умножить на какое-

либо произвольное число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз.

8 . - Если все частоты (веса) разделить или

умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

С помощью средних обобщают не только абсолютные, но и относительные величины (на основе значений как первичных, так и вторичных признаков. Порядок расчета и форма средней зависят от взаимосвязи изучаемых признаков и от того, какими данными располагают. Средние первичных признаков определяются по формуле простой средней путем деления итогового подсчета по характеризуемому признаку на перечневый подсчет, то есть по формуле

(числитель - общая сумма значений усредняемого

признака, знаменатель – общее число единиц изучаемой совокупности). Базой для расчета значений вторичного признака является исходное соотношение первичных признаков, определяющих логическую формулу усредняемого вторичного признака. Далее определяется частное от деления итоговых подсчетов по этим первичным признакам.

В случае, когда один из итоговых показателей не известен, расчет средней производят на основе исходных данных о значении усредняемого вторичного признака каждой отдельной единицы совокупности и связанного с ним признака-веса.

Таким образом, средняя вторичного признака имеет вид средней взвешенной. Если известны значения знаменателя исходного отношения, но не известны значения числителя, то среднюю вычисляют по формуле средней арифметической взвешенной:

В противном случае среднюю вычисляют по формуле средней гармонической взвешенной:

.

Для каждого показателя можно составит только одно исходное соотношение для расчета средней (ИСС). Числитель исходного соотношения средней отражает ее определяющий показатель. Например, для расчета средней зарплаты работников предприятия необходимо общий фонд ЗП (определяющий показатель) разделить на число работников.

Мода и медиана, их смысл и значение

Важным видом средних величин являются структурные (непараметрические) средние. Их используют для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К основным видам структурных средних относят моду и медиану.

Мода это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном дискретном ряду модой выступает варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана это варианта, которая находится в середине ранжированного вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц совокупности. В ранжированных рядах несгруппированных данных медиана равна значению признака, расположенного строго в середине ряда. В случае четного объема ряда медиана равна средней из двух вариантов, находящихся в середине ряда. Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным. Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.):

4,4; 4,3; 4,5; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6.

Чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб., эта величина и будет модой.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,5; 4,5; 4,6; 4,6

Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс. руб., эта величина и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Например, чтобы дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 10 человек, из которых 9 человек имеют доход от 100 до 500 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долл. (табл. 1.7-1), лучше всего рассчитать медиану. Она составит 310 долл., как средняя между 5-ым и 6-ым работником.

Медиана (как и мода ) в отличие от средней арифметической не зависит от минимального и максимального значений ряда распределения и потому практически выполняет функции средней для неоднородной совокупности и в случаях, когда между минимальным и максимальным значениями изучаемого признака имеют место резкие различия (как в приведенном примере).

Таблица 1.7-1

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Доход (долл.)	100	150	200	240	300	320	350	400	500	50000

Моду и медиану можно рассматривать как порядковые характеристики значения признака у единицы совокупности, занимающей особое место в ряду распределения. Мода является величиной, вокруг которой группируется наибольшее количество единиц совокупности. Медиана отражает значение признака, сумма отклонений от которого является наиментшей величиной. Средняя арифметическая часто используется как показатель центра распределения, положительные и отрицательные отклонения от которого индивидуальных значений признака взаимно погашаются. При нормальном распределении все эти средние показатели одинаковую величину.

В дискретном вариационном ряду определение медианного значения признака сводится к определению номера медианной единицы ряда по формуле

где n — объем совокупности.

Полученное значение показывает, где точно находится номер медианной единицы (номер середины ряда). Медианное значение характеризуется тем, что его кумулятивная частота (сумма накопленных частот по группам) равна половине суммы всех частот или превышает ее.

Рассмотрим пример расчета моды и медианы по сгруппированным данным в дискретном вариационном ряду. Исходные данные приведены в табл. 1.7-2.

Для определения медианы находят номер медианной единицы ряда по формуле:

Точная середина находится между 95 и 96 предприятиями упорядоченной совокупности. Необходимо определить в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Как видно из таблицы 1.7-2, эти предприятия находятся в третьей группе, в которой товары продали по цене 54 руб за ед.. Следовательно, медиана равна 54 руб за ед. .

А вот мода будет в следующей группе (55 руб. за ед.), так как наибольшая частота (f=60) приходится на эту группу. Модальный интервал в интервальном ряду определяется по наибольшей частоте.

Таблица1.7-2

Определение моды и медианы дискретного вариационного ряда

Цена, руб. за единицу Х	Число торговых предприятий, f	Накопленные частоты, F
52	12	12
53	48	60=12+48
54	56	116=60+56
55	60	176=116+60
56	14	190=176+14
Всего	190

Для определения медианного интервала необходимо рассчитать суммы накопленных частот. Медианный интервал характерен тем, что его кумулятивная частота равна полусумме всех частот ряда или превышает ее.

Методика расчета моды и медианы в интервальных рядах с равными интервалами приведена в табл.1.8.

Соотношение моды , медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Таблица 1.8

Методика расчета показателя моды и медианы в интервальных рядах с равными интервалами

Вид средней	Методика расчета показателя
Мода	мода вычисляется по формуле: где — минимальная граница модального интервала; — величина модального интервала; — частота модального интервала; — частота интервала, предшествующего модальному интервалу; — частота интервала, следующего за модальным.
Медиана	В интервальном ряду с равными интервалами медиана рассчитывается по формуле где — начальное значение медианного интервала; — величина медианного интервала; — сумма частот ряда; — сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному; — частота медианного интервала.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Какова роль статистических показателей в управлении экономикой?

2.Какие могут быть выделены группы обобщающих статистических показателей?

3.Назовите виды относительных величин и охарактеризуйте их значение.

4.Для чего рассчитывают относительные величины координации?

5.Почему важно анализировать абсолютные и относительные показатели во взаимосвязи?

6.Что представляет собой средняя величина и в чем состоит ее определяющее свойство?

7.Напишите формулу средней арифметической и приведите пример исчисления средней по формуле:

а) средней арифметической простой;

б) средней арифметической взвешенной.

8.Какова роль средних величин в обобщении данных статистического наблюдения?

9.Для каких целей используется формула средней геометрической?

10.Назовите основные свойства средней арифметической .

11.В чем различие между степенными и структурными средними?

12. Использование моды и медианы и их расчет по несгруппированным данным.

ТЕСТЫ

1. Укажите относительные величины структуры. В текущем году:

а) на строительство объектов социально-культурной сферы было направлено 17 % всех инвестиций области; б) коммунальные услуги подорожали на 75 % по сравнению с предшествующим годом.

3. Укажите относительные величины динамики:

а) производство электроэнергии в стране увеличилось в отчетном периоде по сравнению с базисным на 200 млрд. кВт-ч.;

б) производство газа увеличилось в отчетном году по сравнению с предшествующим более чем в 2 раза.

в)на строительство объектов социально-культурной сферы было направлено 17 % всех инвестиций области;

4. Укажите относительные величины сравнения. В текущем году:

а) на строительство объектов социально-культурной сферы было направлено инвестиций области в 1,7 раза больше, чем на строительство дорог;

б) в 2002 г. в Тюменской области населения с высшим профессиональным образованием (в возрасте 10 лет и старше) было в 4,4 раза больше, чем в Курганской.

в)на строительство объектов социально-культурной сферы было направлено 17 % всех нвестиций области;

5. Укажите относительные величины интенсивности:

а) В отчетном году на 1000 человек населения страны в возрасте 10 лет и старше имели высшее образование 68 человек;

б) Производство сахара-песка на душу населения за 40 лет увеличилось в 3 раза.

в)на строительство объектов социально-культурной сферы было направлено 17 % всех нвестиций области;

6. Утверждение «Расчет взвешенных и невзвешенных средних приводит к одному и тому же результату»: 1) всегда верно;

2) верно в том случае, если веса разных вариант одинаковые;

3) всегда неверно;

4) нет правильных ответов.

7. Может ли одно и то же исходное соотношение средней (логическая формула) быть реализовано на основе различных видов средней (арифметическая, гармоническая, кубическая, квадратическая и т.д.)?

Варианты ответов:

1) не может;

2) может на основе любых видов;

3) может на основе средней арифметической взвешенной или средней гармонической взвешенной;

4) нет верных ответов.

8. Можно ли вместо средней арифметической взвешенной использовать среднюю гармоническую взвешенную? Варианты ответов:

1) нельзя;

2) можно, если все варианты одинаковые;

3) можно при равенстве весов;

4) можно в любом случае.

9. Как изменится средняя величина, если все варианты уменьшить в 3 раза? Варианты ответов:

1) не изменится;

2) возрастет в 3 раза;

3) уменьшится в 3 раза;

4) предсказать нельзя.

10. Как изменится средняя величина, если все веса уменьшить в 2 раза? Варианты ответов: 1) не изменится;

2) возрастет в 2 раза;

3) уменьшится в 2 раза;

4) предсказать нельзя.

11. Как изменится средняя величина, если все варианты увеличить в 2 раза? Варианты ответов:

1) не изменится;

2) возрастет в 2 раза;

3) уменьшится в 2 раза;

4) предсказать нельзя.

12. Как изменится средняя величина, если все веса увеличить в 3 раза? Варианты ответов: 1) не изменится;

2) возрастет в 3 раза;

3) уменьшится в 3 раза;

4) предсказать нельзя.

13. Для определения средней скорости пробега автомобиля за один час по имеющимся данным о скорости пробега каждого из пяти автомобилей на трассе данной длины следует применять формулу средней: