1) Арифметической простой;

2) арифметической взвешенной;

3) гармонической простой;

4) гармонической взвешенной.

14. Имеются следующие данные о месячной заработной плате пяти рабочих (руб.): 8560, 8680, 5620, 4710, 6800. Для определения средней заработной платы необходимо применить формулу:

1) Арифметической простой;

2) арифметической взвешенной;

3) гармонической простой;

4) гармонической взвешенной.

15. По данным о среднем балле успеваемости и количестве студентов по каждой из академических групп факультета необходимо рассчитать средний балл успеваемости студентов по факультету в целом. Какую формулу средней необходимо применить:

1) арифметическую простую;

2) Арифметическую взвешенную;

3) гармоническую простую;

4) гармоническую взвешенную.

16. По данным о средней себестоимости одноименных изделий, производимых предприятиями объединения “Прогресс”, и различном удельном весе этих предприятий в общем объеме производства указанных изделий необходимо определить среднюю себестоимость изделия по объединению в целом. Для расчета необходимо применить формулу средней:

1) арифметической простой;

2) арифметической взвешенной;

3) гармонической простой;

4) гармонической взвешенной.

17. Варианта, отделяющая 1/4 (2/4 или 3/4) совокупности, называется:

1) квартилем;

2) модой;

3) медианой;

4)децилем.

18. В дискретном ряду распределения варианта с наибольшей частотой называется:

1) медианой;

2) модой;

3) квартилем;

4) децилем.

19. Варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда единиц совокупности, называется:

1) квартилем;

2) модой;

3) медианой;

4) децилем.

20. Условная варианта в интервальном ряду распределения, вблизи которой плотность распределения достигает максимума, называется:

1) медианой;

2) модой;

3) квартилем;

4) децилем.

21. Какая из приведенных формул используется для расчета средней арифметической взвешенной?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

22. Какая из приведенных формул используется для расчета средней гармонической простой?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

23. Какая из приведенных формул используется для расчета средней арифметической простой?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

24. Какая из приведенных формул используется для расчета средней гармонической взвешенной?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Тема 1.5.

ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Вариация признака в совокупности и значение ее изучения. Показатели размеров вариации: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Основные характеристики и графическое изображение вариационного ряда. Показатели центра распределения: cредняя арифметическая, медиана, мода. Моменты распределения. Изучение формы распределения. Нормальное распределение. Асимметричное распределение. Кривые распределения. Критерии согласия. Вариационный ряд и группировка.

Понятие о вариации и задачи ее изучения

Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени. Задачи исследования вариации: определение меры вариации, выбор соответствующих измерителей или показателей, характеризущих ее размеры, измерение влияния факторов, ее определяющих. Для решения этих задач все совокупности необходимо упорядочить в ряды распределения. Статистический ряд распределения это упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному изменяющемуся признаку. В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды. Атрибутивный ряд - ряд распределения по атрибутивному (качественному) признаку, не имеющему количественной меры. Вариационный ряд - ряд распределения по количественному признаку.

Вариационные ряды могут быть дискретными и интервальными. Дискретный ряд распределения - это ряд, в котором варианты выражены целым числом. Интервальный ряд распределения - это ряд, в котором значения признака заданы в виде интервала. В составе любого вариационного ряда можно выделить три основных элемента: варианты, частоты, частости. Варианты (X)- это значения варьирующего признака.

Частоты (f) - это число единиц совокупности, обладающих данными значениями варьирующего признака. Частости (w) – это удельные веса (доли) отдельных групп в общей численности совокупности.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих основных этапов [6, с.50]:

1. Построение вариационного ряда.

2. Графическое изображение вариационного ряда.

3. Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда.

4. Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

5. Оценка вариационного ряда на асимметрию и экцесс.

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду используются так называемые показатели центра распределения, к которым относятся средняя арифметическая, мода и медиана ( Тема 1.3, c.). Моду и медиану можно определить и графически.

Моду можно определить по гистограмме или кривой распределения. Для определения по гистограмме нужно взять столбец, имеющий наибольшую высоту,и из его левого верхнего угла провести отрезок в верхний угол последующего столбца, а из правого угла- в верхний правый угол предыдущего.. Абцисса точки пересечения отрезков и будет соответствовать модальному значению признака в изучаемой совокупности. Абцисса наивысшей точки кривой распределения, соответствующая наибольшей частоте, будет также соответствовать модальному значению признаку совокупности.

Медиану приближенно определить по кумуляте. Для этого высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абцисс, до пересечения ее с кумулятой.Абцисса точки епресечения и является медианой.

Расчет модального и медианного значений для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формулам, аналогичным приведенным выше (тема 1.3 с. ), только вместо показателей частот (частостей) используются абсолютной или лтносительнойплотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отнощение частот (частостей) к величине интервала h:

- абсолютная плотность распределения f¹

f ¹= f / h;

- относительная плотность распределения w¹

w¹ = w / h.

По соотношению характеристик центра распределения можно судить о симметричности эмпирического ряда распределения. Симметричным является распределение , в котором частоты двух вариантов, равноотстоящих в обе стороныот центра распределения, равны между собой. В симметричном (нормальном) ряду распределения средняя величина , медиана Ме и мода Мо равны между собой:

= Ме = Мо.

Если < Ме < Мо, то имеет место левосторонняя асимметрия, при которой большая часть единиц совокупности имеет значение признака ниже модального. На графике распределения левая ветвь относительно максимальной ординаты вытянута меньше, чем правая.

Если > Ме > Мо, то имееи место правосторонняя асимметрия, при которой большая часть единиц совокупности имеет значение признака больше модального. На графике распределения правая ветвь вытянута больше, чем левая.

Для оценки степени асимметричности применяют моментный и структурный коэффициенты асимметрии.

Моментный коэффициент асимметрии As (стандартизованный момент третьего порядка) определяется по формуле:

As = M₃ / σ³,

где M₃ – центральный момент третьего порядка,

где М₃= .

Структурный коэффициент асимметрии Пирсона определяется по формуле: Аs = 3( - Ме)/ σ.

На направление асимметрии указывает знак коэффициента: если Аs < 0, то это левосторонняя асимметрия (ее называют таже отрицательной), при правосторонней асимметрии Аs >0.

Другим свойством рядов распределения является экцесс. Под экцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным. Экцесс оценивают с помощью центрального момента четвертого порядка М₄ по формуле:

Es = М₄ / σ⁴

Показатели размера и интенсивности вариации

Показатели вариации делятся на 2 группы: абсолютные и относительные. К абсолютным показателям относятся: размах колебаний (R), среднее линейное отклонение , дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение. К относительным показателям вариации относятся: коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др..

Р азмах колебаний, или размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: . Размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями.Так как только два значения признака учитываются, причем крайние, размах вариации может быть зависимым от случайных причин.

С реднее линейное отклонение ( ) –сумма всех отклонений, условно принятых содинаковым знаком (по модулю), разделенная на их число.Среднее линейное отклонение более полно характеризует колеблемость признака.

Дисперсия ( σ²) - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины .

Среднее квадратическое отклонение ( σ )- квадратный корень из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение также, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняется конкретное значение признака от среднего их значения. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Между ними имеется соотношение

З ная это соотношение, можно по известному показателюопределить неизвестный, например, по определить σ и наоборот. Среднее квадратическое отклонение измеряет абсолютный размер колеблемости и выражается в тех же единицах измерения, что и значения признака (в рублях, тоннах, процентах и т.д.). Оно является абсолютной мерой вариации.

Формулы расчета показателей вариации для несгруппированных и сгруппированных данных приведены в табл.1.9.

Таблица 1.9

Методика расчета показателей вариации

Показатель	Формулы расчета показателей
	для несгруппированных данных	для сгруппированных данных
Среднее линейное отклонение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Для оценки интенсивности вариации, а также для сравнения ее величины в разных совокупностях или по разным признакам используют относительные показатели вариации (коэффициент осцилляции, коэффициент вариации и др.), которые рассчитываются как отношение абсолютных показателей к средней величине признака. Коэффициент осцилляции (относительный размах вариации) есть отношение размаха вариации R к средней арифметической .

По своему абсолютному значению среднее квадратическое отклонение зависит не только от степени вариации признака, но и от абсолютных уровней вариант и средней. Чтобы сравнивать, нужно найти удельный вес отклонения в среднем арифметическом показателе, выраженный в % , то есть рассчитать относительные показатели вариации.

Линейный коэффициент вариации это отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической, выраженный в %.

Коэффициент вариации , как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, - измеряет колеблемость в относительном выражении, относительно среднего уровня .

Также этот показатель используют для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). Чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем больше неоднородность совокупности. Существует шкала степени однородности совокупности в зависимости от значений коэффициента вариации.

Коэффициент вариации (%)	Степень однородности совокупности
До 30	Однородная
30-60	Средняя
60 и более	Неоднородная

Средние величины и показатели вариации могут быть рассчитаны через моменты распределения. Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов x от некоторой постоянной величины А. Если А= 0, момент называется начальным. Если А= , момент называется центральным. Если А ≠ 0, момент называют условным, а расчет средних с его использованием называется методом условных моментов. Согласно определению начальный момент первого порядка есть средняя арифметическая, а момент второго порядка – есть дисперсия.

Расчет средней и дисперсии методом условных моментов производится по формулам:

Условный момент первого порядка

Условный момент второго порядка

где m₁, m₂ – условные моменты первого и второго порядка,

к – общий множитель.

Также как средняя арифметическая, дисперсия обладает рядом важных свойств, которые используют в статистическом анализе:

1) дисперсия постоянной величины равна нулю;

2)если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число A, то дисперсия не изменится;

3)если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшится в k² раз;

4)дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной:

Дисперсионный анализ

Наряду с изучением вариации по всей совокупности в целом можно изучить количественные изменения по группам, на которые разделяется совокупность, и между группами. Для этого выделяют три вида дисперсии: общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия (дисперсия признака по всей изучаемой совокупности) характеризует вариацию признака как результат влияния всех факторов, определяющих индивидуальные различия единиц совокупности и может быть рассчитана по формуле:

В ариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия , которая является мерой колеблемости групповых средних вокруг общей средней и исчисляется по формуле:

где m - число групп;

- число единиц в группе ;

- частная средняя по группе;

- общая средняя по всей совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе групповая (внутригрупповая) дисперсия :

По совокупности в целом вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из групповых дисперсий:

С уществует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий

Данное соотношение называется правилом сложения дисперсий и используется в ряде методов статистики, в частности при расчете ошибок выборочного наблюдения (Тема 1.1) и при измерении тесноты связи между признаками (тема 2.1). Теоретический и практический интерес к этому правилу заключается , во-первых, в том что, зная две величины, на основе приведенного равенства всегда можно определить третью величину, во-вторых, важное значение состоит в том что, зная общую дисперсию и дисперсию групповых средних, можно оценить силу влияния группировочного признака с помощью эмпирического коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Эмпирический коэффициент детерминации равен отношению межгрупповой и общей дисперсии и рассчитывается по формуле:

Он показывает, какая часть (доля) общей вариации изучаемого признака обусловлена вариацией группировочного признака.

Эмпирическое корреляционное отношение (ή) представляет собой корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации и рассчитывается следующим образом:

Оно характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака (изменяется в пределах от 0 до 1. Если ή = 0, то признак не оказывает влияния на результативный. Если ή = 1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Что такое размах вариации и в чем его особенности как показателя вариации?

2. Назовите показатели, являющиеся абсолютными характеристиками степени вариации.

3. Что такое размах вариации и в чем его особенности как показателя вариации?

4. Назовите показатели, являющиеся абсолютными характеристиками степени вариации.

5. В чем состоят особенности расчета показателей вариации по сгруппированным данным?

6. Какое аналитическое значение имеет коэффициент вариации?

7. Что представляет собой дисперсия альтернативного признака?

8. Назовите показатели, относящиеся к квантилям распределения.

9. Как определяется внутригрупповая дисперсия?

10. Что представляет собой правило сложения дисперсий?

11. Что характеризует межгрупповая дисперсия, формула ее расчета?

12. Что называется эмпирическим корреляционным отношением, и как оно интерпретируется?

13. В чем состоит значение проверки гипотезы о форме распределения?

14. Каковы особенности кривых нормального распределения? Их использование в анализе фактических данных.

15. Какие критерии согласия используются наиболее часто?

ТЕСТЫ

1. Средняя себестоимость выпускаемой продукции в двух группах предприятий одинаковая. В первой группе предприятий индивидуальные уровни себестоимости составляют: 23; 52; 30; 28; 37. Во второй группе: 30; 55; 20; 46; 19. Вариация себестоимости больше:

1) в первой группе предприятий;