1.2.2 Методы расчета разветвленной электрической цепи с несколькими источниками энергии

На практике электрические цепи постоянного тока часто содержат несколько источников ЭДС и представляют собой смешанное соединение пассивных элементов. Основным методом расчета является метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа, а также методы, разработанные на их основе для оптимального решения определённого класса задач. К таким методам относят:

- расчет сложных цепей методом уравнений Кирхгофа;

- расчет сложных цепей методом контурных токов;

- расчет цепи методом узлового напряжения;

- расчет цепей методом эквивалентного генератора;

- расчет цепей методом наложения токов.

Расчет электрических цепей методом законов Кирхгофа

Цель занятия: научиться рассчитывать электрические цепи методом непосредственного применения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Последовательность анализа цепи методом законов Кирхгофа.

1. Проанализировать топологию рассчитываемой цепи, то есть определить количество ветвей, количество узлов и количество независимых контуров в ней. Это необходимо для того, чтобы определить, как и сколько уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа необходимо записать для определения токов в ветвях электрической схемы.

Количество ветвей будет равно количеству неизвестных токов и, следовательно, количеству уравнений, которое следует записать для анализа цепи.

Количество узлов определит количество уравнений, которые надо будет записать по 1-му закону Кирхгофа.

Количество независимых контуров определит количество уравнений, которые будет необходимо записать по 2-му закону Кирхгофа.

2. Задать произвольные направления токов в ветвях схемы, чтобы можно было записать уравнения по законам Кирхгофа. Если выбранное направление тока не совпадет с истинным, то в решении этот ток получит знак «минус».

3. Задаться (иначе будет нельзя записать уравнения по законам Кирхгофа) условным положительным направлением тока, то есть принять, какое направление тока считать положительным – к узлу или от узла. Для решения это безразлично, но принятое условие необходимо соблюдать до конца решения задачи.

4. Записать по 1-му закону Кирхгофа количество уравнений, равное количеству узлов (q) в схеме минус один. Для этого выбрать узлы, для которых будут записаны уравнения n -1.

5. Недостающие до необходимого количества уравнения m (см. п. 1) записать по 2-му закону Кирхгофа для независимых контуров. Для этого необходимо задаться направлением обхода каждого контура (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

6. Решить полученную систему уравнений. Проверить выполняется ли 1-й закон Кирхгофа в узлах схемы.

7. Определить напряжения на резисторах. Проверить выполняется ли 2-й закон Кирхгофа в контурах схемы.

8. Составить баланс мощностей и проверить правильность решения.

Пример расчета задачи №2.

В изображенной схеме электрической цепи известны:

, , , , .

Рисунок - 1.37. Исходная схема электрической цепи

Определить методом уравнений Кирхгофа:

1) токи во всех ветвях цепи;

2) сделать проверку на баланс мощностей.

Решение:

Примем направление токов в ветвях такими, как указано на схеме, изображенной на рис. 1.38.

Число контуров m = 2; число узлов n = 2.

Число уравнений по I-му закону Кирхгофа n - 1 = 2-1 = 1.

Рисунок - 1.38. Выбор направлений токов, выбор контуров и направлений их обхода.

Число уравнений по по законам Кирхгофа q = m + (n-1) = 2 + (2-1) = 3.

Для одного из узлов: .

Для 1-го контура: .

Для 2 го контура: .

Перепишем эту систему с учетом числовых значений параметров цепи.

(1.1)

(1.2)

. (1.3)

Уравнения 1-3 решаем методом подстановки:

из (1.2) получим

А,

а из (1.3)

А.

Подставляя полученные результаты в (1.1), имеем:

,

,

,

.

Знак минус указывает на то, что действительное направление тока противоположно выбранному.

Рисунок - 1.39. Схема цепи с учетом действительных направлений токов.

Проверка правильности решения задачи

Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы.

Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель).

Проверка правильности расчетов токов с помощью уравнения баланса мощностей цепи ∑Р_г = ∑Р_п :

Мощность источника

Р_г = Е₁·I₁ + Е₂·I₂ - Е₃·I₃ = 72·6 - 48·1,5 = 360 Вт.

Мощность, потребляемая нагрузкой

Погрешность расчета баланса мощности равна

.

Если баланс мощности сходится с допустимой погрешностью δ < 1, то расчет токов выполнен верно.