2 Цепи синусоидального однофазного тока

2.1 Краткие теоретические сведения

Значения величин, действующих в электрических цепях синусоидального тока, аналитически выражаются одной из следующих форм записи:

1. мгновенные значения напряжения и тока записываются в виде функций:

, ,

где: u, i, e - мгновенные значения напряжения и тока;

U_m, I_m, E_m - амплитудные значения напряжения и тока;

_u, _i,_{e, - начальные фазы напряжения и тока;}

- угловая частота, причем период изменения синусоидального тока Т и его частота f связаны с величиной ω следующим образом:

ω = 2pf = 2p/Т, 1/c;

2) действующие значения:

А; В; В

3) комплексные выражения для действующих значений синусоидального напряжения и тока записываются в трех формах:

,

,

где: U_а,– активная составляющая комплексного напряжения;

I_а – активная составляющая комплексного тока;

U_р, – реактивная составляющая комплексного напряжения

I_р – реактивная составляющая комплексного тока.

Здесь - мнимая единица (на комплексной плоскости умножение на «j» сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 90^o , а умножение на «-j» - к повороту вектора на 90^o по часовой стрелке).

Формулы переходов из алгебраической формы комплексного числа в показательную и обратно дают возможность легко проводить расчеты в комплексных выражениях, например:

Мощность в цепях однофазного тока

Формула полной мощности определяет соотношение всех мощностей:

,

где: S - полная мощность цепи;

P - активная мощность цепи;

Q - реактивная мощность цепи.

В комплексной форме формула приобретает вид:

,

где: - комплексно сопряженный ток.

Например, если ток в комплексной форме представлен формулой , то сопряженный комплекс будет . Для тока комплексно сопряженным является ток

Построение векторных диаграмм

В основном векторные диаграммы строятся на комплексной плоскости и бывают двух типов:

- векторные диаграммы токов и напряжений;

- векторные топографические диаграммы напряжений.

Все векторные диаграммы строятся в масштабе, как для токов, так и для напряжений. На комплексной плоскости оси координат обозначаются +1 и +j. Последовательность построения диаграмм зависит от схемы соединения электрической цепи. В любом случае первым откладывается вектор тока или напряжения, который является общим для возможно большего количества элементов цепи или ее части. Например, если элементы цепи R, L, C соединены последовательно, рис. 2.1 а, то «опорным» в диаграмме является вектор тока, как общий для всех элементов. Далее строятся векторы напряжений с учетом сдвига фаз между током и напряжениями на элементах (рис. 2.1 б). Геометрическая сумма векторов напряжений должна быть равна вектору напряжения, приложенному к электрической цепи.

а)	б)
Рисунок 2.1 - Электрическая цепь при последовательном соединении R, L, C элементов а) схема; б) векторная диаграмма напряжения и токи

Если элементы цепи R, L, C соединены параллельно (рис. 2.2 а), то «опорным» в диаграмме является вектор напряжения, как общий для всех элементов. Далее строятся векторы токов с учетом сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях цепи (рис. 2.2 б). Геометрическая сумма векторов токов в ветвях должна быть равна общему току в электрической цепи.

а)	б)
Рисунок 2.2 - Электрическая цепь при параллельном соединении R, L, C элементов а) схема; б) векторная диаграмма токов и напряжений

Топографическая диаграмма напряжений представляет собой диаграмму комплексных потенциалов точек электрической цепи, отложенных в определенном порядке. Потенциал одной из точек принимается равным нулю и далее возможны два варианта построения:

-относительно этого потенциала рассчитываются потенциалы остальных точек;

-от этой точки откладываются модули напряжений на элементах с соответствующими углами сдвига фаз.

Порядок построения топографической диаграммы виден на простом примере (рис. 2.3 а и б)

а)	б)
Рисунок 2.3 - Схема электрической цепи (а) и соответствующая ей топографическая диаграмма (б)

В электрических цепях со смешанным соединением элементов топографическая диаграмма напряжений обычно строится в несколько этапов. При этом сначала строятся диаграммы для отдельных ветвей цепи, что предполагает наличие векторной диаграммы токов для всей цепи, а потом объединяются в общую топографическую диаграмму.

Расчет сопротивлений

Обычно сопротивления задаются, как в явной форме R = 5 Ом, так и в виде индуктивностей и емкостей L = 19,1 мГн или С = 99,5 мкФ. В случае индуктивных и емкостных сопротивлений расчет ведется следующим образом:

где f = 50 Гц.