Расчет электрических цепей методом контурных токов

Цель занятия: Научиться рассчитывать электрические цепи методом непосредственного применения уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа.

Краткие теоретические сведения

Под контурным током понимают условный (воображаемый) ток, замыкающийся только по своему контуру (при этом рассматриваются только независимые контуры). Это позволяет уменьшить число уравнений до числа независимых контуров.

Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании 2-го закона Кирхгофа контурные токи, замыкающиеся в контурах.

При составлении уравнений необходимо учитывать, что на любом пассивном элементе создается падение напряжения не только от собственного контурного тока (тока того контура, в который входит данный элемент), но и от тока соседнего контура:

- в случае, если рассматриваемая ветвь является смежной, т.е. общей для этих контуров, знак падения напряжения определяется относительно направления обхода того контура, для которого составляется уравнение;

- если направление падения напряжения на рассматриваемом элементе совпадает с направлением обхода анализируемого контура на данном участке, то это падение напряжения учитывается в уравнении положительным членом, в противном случае - отрицательным.

Действие источников тока учитывается следующим образом:

- сопротивление участка цепи, к которому подключается идеальный источник тока, можно считать внутренним сопротивлением реального источника тока (параллельная схема замещения источника), следовательно, на нем создается падение напряжения и от собственного тока источника I_k;

- знак падения напряжения определяется, как обычно, относительно направления обхода контура, для которого записывается уравнение.

Токи в ветвях определяются через рассчитанные контурные следующим образом:

- токи во внешних, принадлежащих только данному контуру, ветвях равны собственным контурным токам с учетом знака (если ток в ветви совпадает по направлению с контурным на данном участке, то он равен контурному току со знаком «+», если направлен противоположно - со знаком «-»);

- токи в смежных ветвях равны алгебраической сумме соответствующих контурных токов (если контурный ток, замыкаясь по рассматриваемой ветви, направлен в ту же сторону, что и ток данной ветви, то он учитывается со знаком «+», в противном случае – со знаком «-»).

Проверка достоверности рассчитанных значений токов во всех ветвях схемы производится путем подстановки их в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа (уравнения, соответствующие первому закону Кирхгофа, при подстановке в них числовых значений всегда будут выполняться, поскольку на их основании определялись токи в ветвях относительно контурных). Кроме того, проверка правильности расчета может быть произведена путем подстановки найденных числовых значений токов в ветвях в уравнение баланса мощностей, составленное на основе закона сохранения энергии.

Пример расчета задачи №3:

Определить токи всех ветвей электрической цепи, схема которой изображена на рис. 1.40, методом контурных токов, если параметры элементов схемы имеют следующие значения:

Рисунок - 1.40. Схема цепи для расчета по методу контурных токов

Е₁ = 72 В,

Е₂ = 48 В,

R₁ = 3  Ом,

R₂ = 4 Ом,

R₃ = 12 Ом.

Решение:

1. Выбираем условно положительные направления токов в ветвях, приписываем каждому контуру свой ток: I₁₁, I₂₂ и произвольно направления каждого из них (обычно направления контурных токов выбирают совпадающими с направлениями обходов контуров).

2. Составляем уравнения согласно 2-му закону Кирхгофа для независимых замкнутых контуров. При этом слагаемые в уравнениях располагаются таким образом, что на первом месте должен стоять член, соответствующий падению напряжения, создаваемому первым контурным током, на втором месте - вторым контурным током и т.д., свободные члены выносятся в правые части уравнений. Тогда коэффициенты главной диагонали представляют собой положительные суммы величин сопротивлений, а коэффициенты в каждой поперечной диагонали равны между собой (симметричны) относительно главной диагонали.

С учетом этого система уравнений для контурных токов имеют вид:

Подставив заданные числовые значения Е и R в исходные уравнения получим:

;

3. Эти уравнения могут быть решены методом подстановки, однако, рассмотрим более общий алгоритм решения системы линейных уравнений. Решая систему уравнений относительно контурных токов, находим:

- главный определитель системы:

- определители контурных уравнений определяем аналогично:

4. Контурные токи вычислим пользуясь уравнениями:

5. Используя значения контурных токов, найдем токи в ветвях цепи:

I₁ = I₁₁ = 6 А; I₂ = – I₂₂ = – 1,5 А; I₃ = I₁₁ - I₂₂ = 6 – 1,5 = 4,5 А.

Знак минус перед токами I₃, I₄, I₅ показывает, что действительное его направление противоположено выбранному.