2. Определенный интеграл

2.1. Понятие определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция , .

Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , линией , с которой любая прямая, параллельная оси , пересекается не более, чем в одной точке, и прямыми и .

Поставим задачу: найти площадь криволинейной трапеции.

Р

Рис. 2.1

Рис. 2.2

азобьем основание трапеции, от­ре­зок точками на отрезков, через них проведем прямые, параллельные оси . Таким образом трапеция будет состоять из вертикальных полосок (криволинейных трапеций) (рис. 2.1).

Рассмотрим одну такую полоску (рис. 2.2), основанием которой является отрезок и найдем ее площадь. На отрезке возьмем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке: . Величина равна длине k-й части отрезка. Рассмотрим прямоугольник с высотой и основанием .

Площадь этого прямоугольника равна: .

Площадь прямоугольника приближенно равна площади рассматриваемой криволинейной полоски, которую мы обозначим , т. е.

Таким же образом поступим со всеми полосками, на которые мы разбили криволинейную трапецию. Тогда площадь криволинейной трапеции:

Это равенство будет тем точнее, чем меньше основания полосок. Обозначим называется рангом дробления, устремим к 0 . Тогда площадь криволинейной трапеции равна

,

где сумма вида называется интегральной суммой для функции на .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции выражается как предел, к которому стремятся площади криволинейных полосок, если длины их оснований стремятся к нулю, а количество рассматриваемых криволинейных полосок неограниченно растет.

Определение. Предел интегральной суммы при стремлении , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек , называется определенным интегралом от функции по промежутку , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т. е.:

При этом число называется нижним пределом интервала, число – его верхним пределом; функция – подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, а задача о нахождении – интегрированием функции на отрезке .

Теорема 2.1. Если функция непрерывна на то она интегрируема на этом промежутке.

Теорема 2.2. Если функция ограничена на и имеет на конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на .

Из рассмотренной выше задачи вытекает геометрический смысл определенного интеграла: равен площади криволинейной трапеции.

Замечание 1. Для определенного интеграла не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования, т. е.:

так как смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Замечание 2. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы – существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.