1.4. Метод непосредственного интегрирования

1.4.1. Преобразование подынтегральной функции к сумме функций

Под таким названием объединяются способы приведения интеграла к одному или нескольким табличным с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции, свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов. Рассмотрим несколько таких преобразований на примерах.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

2.

Решение. В этих примерах подынтегральные функции записаны в виде алгебраических сумм функций, поэтому для нахождения интегралов применим четвертое и пятое правила интегрирования и табличные интегралы. Тогда

^1.

Применялись табличные интегралы 5, 8, 19, произвольные постоянные объединены в одну.

2. 

Применялся второй табличный интеграл при значениях

С помощью действия дифференцирования легко проверить, что интегралы вычислены верно. Например, в первом примере:

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

Решение

Поскольку то воспользуемся формулой (20) при

Так как то используя формулу (18) при получаем:

Так как то используя формулу (21) при получаем:

Преобразуем подынтегральную функцию: перемножим скобки в числителе и почленно разделим числитель на знаменатель:

Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

Применялись табличные интегралы 1 и 18.

Учитывая, что и используя формулу (4) при получаем:

7. Так как то воспользуемся формулой (4) при а = 8, тогда

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

Решение

1. 

Применялась формула тригонометрии и табличные интегралы 10 и 11.

2.

Применялась формула и табличные интегралы 1 и 7.

1.4.2. Вычисление неопределенного интеграла с применением компенсирующего множителя

Если то где постоянные величины Формула легко проверяется дифференцированием. Множитель называется компенсирующим множителем.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

Решение

здесь табличный интеграл 5.

здесь табличный интеграл 5.

здесь табличный интеграл 8.

1.4.3. Вычисление неопределенных интегралов введением функции под дифференциал

Метод введения функции под знак дифференциала основан на равенстве

То есть, главной задачей является приведение подынтегральной функции к виду . Поэтому желательно иметь перед глазами таблицу производных и таблицу первообразных основных элементарных функций. Запишем таблицу производных в виде дифференциалов.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

1. ; 2. ; 3. .

Решение

1. Нам нужно вычислить неопределенный интеграл, используя метод введения функции под знак дифференциала. Из таблицы производных имеем , поэтому .

По таблице первообразных сразу приходим к ответу:

.

Немного поясним. Можно ввести переменную , тогда

.

Из таблицы первообразных для степенной функции видим, что .

Возвращаемся к исходной переменной:

.

Итак, .

2. Так как , поэтому можно записать или .

Следовательно, решение будет следующим:

3. Применим метод введения функции под знак дифференциала: