Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы:
1) 
3)
2)
4)
1.8. Интегрирование простейших иррациональных функций
При интегрировании иррациональных
функций обычно применяют рационализирующие
подстановки, т.е. подстановки, позволяющие
в подынтегральной функции освободиться
от радикалов. Здесь и дальше будем
полагать, что
– рациональная функция от своих
аргументов.
1. Рассмотрим интеграл
где
– целые числа,
– действительные числа. Рационализирующей
подстановкой, позволяющей избавиться
от всех радикалов, является подстановка
,
где
– новая переменная, а
– наименьшее общее кратное чисел
В частном случае интеграл имеет вид:
Здесь рационализирующая подстановка
,
где
.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл
Решение. Так как здесь показатели
корней 2 и 3, их наименьшее кратное 6. В
этом случае сделаем замену
,
тогда
.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл:
Решение.
Заметим, что
.
Наименьшим общим кратным знаменателей
дробей
является 6. Поэтому, если применить
подстановку
то
Таким образом, данный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции. Для его нахождения выделим целую часть подынтегральной функции:
Таким образом, получим:
Возвратимся к старой переменной. Так
как
то
.
Итак,
2. Рассмотрим интеграл вида
Данный интеграл вычисляется так же, как и интегралы от простейших дробей III типа: выделяется полный квадрат в подкоренном выражении и полученную в скобках сумму принимают за новую переменную.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
Здесь применялись: метод замены переменной, возведение функции под знак дифференциала и табличный интеграл 21.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл:
Решение
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы:
1) 
3)
2)
4)
1.9. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим несколько случаев интегрирования тригонометрических выражений.
1. Интегралы
Чтобы вычислить эти интегралы, следует представить подынтегральное произведение в виде суммы, используя формулы:
Пример. Вычислить неопределенный интеграл:
Решение
2. Интегралы
,
где
и
– целые числа.
Интегралы такого вида наиболее просто вычисляются в следующих случаях:
1) n – нечетное
положительное число, m
– любое, применяется подстановка
;
2) m – нечетное
положительное число, n
– любое, применяется подстановка
;
3) n и m – четные положительные числа. В этом случае хороший результат дает применение формул:
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1.
2.
Решение
1. Так как
,
то применим подстановку
.
2. Так как
,
то применим подстановку
.
Пример. Вычислить неопределенные интегралы:
1.
2.
Решение
1.
2.
3. Интегралы
где
– рациональная функция от
и
.
Любой интеграл
может быть сведен к интегралу от
рациональной дроби универсальной
тригонометрической подстановкой:
По формулам тригонометрии:
получим:
Пример. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
4. Интегралы
где
– рациональная функция от
и
.
Здесь следует использовать замену:
По формулам тригонометрии получим:
Пример. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
5. Интеграл
В этом случае применяют подстановку
или
,
когда подынтегральная функция зависит
от
.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
6. Интеграл
Здесь применяется подстановка
Пример. Вычислить неопределенный интеграл:
Решение
7. Интеграл
Здесь применяется подстановка
Пример. Вычислить неопределенный интеграл
Решение
