1. Термины и определения теории вероятности и ма­тематической статистики

2. Основные параметры теории вероятности и ма­тематической статистики

Оценка надежности объектов при помощи матема­тических методов на основании обобщения накоплен­ной статистической информации об их работе в реальных условиях эксплуатации позволяет выявлять веро­ятностные закономерности и соотношения между слу­чайными факторами, в различной мере влияющими на работоспособность, безотказность и долговечность объектов. Методы исследований надежности основаны па том; что отказ — случайное событие и для его пре­дупреждения необходимо знать физические причины и закономерности возникновения и развития его.

Некоторые сведения из теории вероятностей и ма­тематической статистики.

В теории вероятностей и основанной на ней математической статистике применя­ют ряд специфических понятий, основными из которых служат следующие: испытание (опыт), событие, слу­чайная величина, вероятность, частота и частость.

Испытание (опыт)—это практическое созда­ние некоторых условий, правил, т. е. всякой определен­ной совокупности условий, влияющих на некоторое физическое явление. Испытания сопровождаются ре­гистрацией результата.

Событие — это явление, происходящее в резуль­тате выполнения определенного комплекса условий, т. е. в результате испытания (опыта). Оно является каче­ственным .результатом испытания, проводимого при вполне определенных условиях, например результатом эксплуатации сельскохозяйственной техники в опреде­ленных условиях с целью оценки ее надежности.

Достоверным называют такое событие, которое неизбежно произойдет при данном комплексе действую­щих условий.

Невозможным называют событие, .которое при тех же условиях заведомо произойти не может.

Случайным называют событие, которое при рас­сматриваемом сочетании условий может произойти, а может и не произойти. Случайное событие — появле­ние отказов.

Все явления в технике с точки зрения количествен­ной характеристики их проявления разделяют на еди­ничные и массовые.

Единичным называют явление, которое возникло однократно и при многократном воспроизведении того же испытания (опыта) практически не повторится.

Массовыми называют явления, повторяющиеся при многократном воспроизведении испытаний (опытов).

Несовместными называют два события, если при испытании появление одного из них исключает возмож­ность появления другого. Например, отказ и работоспособность — это событие и состояние, укоторые не мо­гут возникать одновременно.

Совместными называют два события, если при испы­таниях появление одного из них не исключает воз­можности появления другого.

Единственно возможным называют событие, хотя бы раз зафиксированное при испытании.

Равновозможными называют несколько возможных событий, появившихся в процессе испытания, и при этом нет основания предполагать, что появление од­них возможнее появления других.

Независимыми считаются такие события, появление которых не зависит от того, какое событие произошло перед этим (например, независимый отказ).

Зависимые события — это события, которые зависят от того, что произошло перед этим.

Случайная величина — это такая величина, которая в результате опыта может принимать различ­ные значения в определенных пределах.

Случайные величины обычно обозначаются пропис­ной буквой латинского алфавита, например X. Значе­ния случайной величины, которые она принимает в ре­зультате испытании, записываются строчными буква­ми: x_п.

Все случайные величины можно разделить на две группы: непрерывные и дискретные.

Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любое значение (время безотказной работы объекта, значение того или иного технического параметра и т. д.).

Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать лишь определенные значения (число отказов, возникающих в течение како­го-либо интервала времени, число неисправных объек­тов в партии и т. д.). Число бракованных деталей в партии изношенных — дискретная случайная величина, а величина износа этих_х деталей — непрерывная слу­чайная величина.

Теория вероятностей изучает массовые случайные отказы или величины, имеющие к тому же устойчивую частоту появления. Если, проведено Ν испытаний ма­шин и получена частота (количество) отказов m , то относительная частота, или частость, отказов:

Частота —это число одинаковых или близких (полученных по наблюдениям) появлений события или абсолютных значений случайных величин, соединенных в одну группу (интервал) или разряд.

Частость, или относительная частота, — это час­тота, выраженная в долях единицы или процентах от общего числа испытаний или объектов изучаемой сово­купности.

Можно сказать, что при неограниченном увеличении N статистическое значение W приближается или схо­дится к некоторому числу Р, Называемому вероятно­стью данного события:

Где P(A) – вероятность события А; m – число случаев, благоприятствующих наступлению события; N – число несовместных, единственно возможных и равновозможных событий.

При проведении большого числа испытаний, т. е. при многократной реализации одной и той же сово­купности условий, обнаруживает определенные законо­мерности в наступлении случайных событий.

Проводя какое-либо испытание или наблюдение в эксплуатации, мы не можем заранее точно сказать, ка­кое значение примет в этом опыте та или иная слу­чайная величина. Иными словами, случайное срытие при неоднократ­ном воспроизведении одного и того же опыта или ис­пытания в одних и тех же условиях протекает всякий раз несколько по-иному в различные моменты вре­мени.

Ввиду этого для количественной оценки случайного события используют вероятность того, что случайная величина окажется в указанной интервале ее возмож­ных значений.

Вероятность — это объективная математическая оценка возможности реализации случайного события или случайной величины.

Вероятность события А — это отношение числа слу­чаев, благоприятствующих наступлению данного события, ко всему числу несовместных, единственно возмож­ных и равновозможных событий.

Приближенное равенство P= m /N позволяет опре­делить вероятность Р какого-либо события по эмпи­рической частости, и, наоборот, по известной вероят­ности можно определить ожидаемую частость этого со­бытия при N испытаниях, когда они не проведены.

Вероятность события принято выражать положи­тельным числом, имеющим значение от нуля до еди­ницы, т. е. 0< P(A)>1. Если m = N, то P(A)=m/N = 1 и событие А достоверно (обязательно произойдет); при Р(A)=0 событие невозможно (произойти не мо­жет).

Обычно при решении технических задач приходит­ся иметь дело не с достоверными или невозможными, а с так называемыми практически достоверными и практически невозможными событиями.

Практически достоверным называют такое событие, вероятность которого близка к единице.

Практически невозможным называют событие, ве­роятность которого близка к нулю.

Практически достоверные и практически невозмож­ные события в одном и том же испытании или опыте всегда сопутствуют одно другому.

Полной группой событий называют несколько не совместных событий, из которых при одном испытании обязательно наступит хотя бы одно. В том случае, когда полная группа состоит из двух событий, эти два события ил (ынают противоположными. Событие, противоположное данному событию А, обозначают А.Для полной группы событий^ достаточно иметь дванесовместных события Ли Д. Пример противоположных событий — запуск и незапуск двигателя. Если, на­пример, в данном опыте событие А практически досто­верно, то противоположное ему событие А практичес­ки невозможно. ,

Случайное событие имеет устойчивую частость прч массовых испытаниях, т. е. в каждой серии испытаний частость этого события изменяется незначительно -и колеблется вблизи некоторого положительного числа. Это число и принимается за вероятность данного собы

Вероятность — это объективная математическая оценка возможности реализации случайного события или случайной величины.

Формула сложения вероятностей. Если при испытаниях может произойти только одно из рас­сматриваемых событий: ai, А₂,..., А_п, а вместе они появиться не могут, то такие события, как отмечалось выше, называют несовместными. Это сложное событие А называют суммой исходных событий и условно обозначают:

Если вероятности подчиняются таким же соотноше­ниям, что и соответствующие им частости, то получа­ют формулу (теорему) сложения вероятностей, при­меняемую для несовместных событий, которая форму­лируется следующим образом.

Вероятность появления одного из нескольких неза­висимых и несовместных однородных (принадлежащих к одной группе) событий (или иначе вероятность сум­мы несовместных событий, A₁ A ₂..., А_п) равна сумме вероятностей этих событий:

В общем случае для полной группы несовместных событий A₁, А₂,..., А_п будем иметь

На практике в надежности чаще всего рассматрива­ют два несовместных противоположные события: сo-стояние работоспособности объекта и отказ. Естест­венно, что они несовместны, т. е. любой объект, в дан­ный момент времени может находиться только в од-, ном состоянии: или в рабочем, или в нерабочем. Эти события образуют полную группу, для которой

где Р – вероятность того, что объект будет работоспособным; q – вероятность того, что наступит отказ, т.е объект будет неработоспособным.

Так как эти события противоположны, т.е. появление одного из них достоверно, а совместное обоих в одном опыте невозможно, то

Для двух совместных событий

(3.2)

Формула умножения вероятностей. Если два события А и В независимы, т.е. появление одного из них не изменяет вероятности появления другого, то

(3.3)

Эта формула выражает теорему умножения вероятностей для независимых событий, утверждающую, что вероятность совместного проявления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. При .

Сложное событие А, заключающееся в одновременном осуществлении нескольких событий, называется произведением исходных событий A_i и условно обозначается

По теореме умножения вероятностей независимых событий

Для достаточно больших значений P, обозначая через q вероятность противоположного события

Пример. Машинно-тракторный агрегат состоит из двух машин с вероятностью безотказной работы соответственно P₁=0,8 и P₂=0,7 в течение некоторой наработки. Вероятность его безотказной работы будет:

Для зависимых событий

(3.5)

где P(AB) – вероятность одновременного появления событий; P_B(A) – вероятность появления события А при условии, что произошло событие B (так называемая условная вероятность).

Если события несовместны, то произведение таких событий является невозможным событием, вероятность которого равна нулю.

Основные характеристики надежности имеют значи­тельный разброс, т. е. они случайные величины, а по­этому при многократном повторении они подчиняются определенным статически устойчивым законам распре­деления случайной величины.

Распределение случайных величин — это совокуп­ность значений случайных величин, расположенных в возрастающем порядке с указанием их вероятностей для теоретических распре делении или частот

Закон распределения случайной величины — это

всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответ­ствующими этим значениям вероятностями или часто­тами (частостями).

Закон распределения случайных величин позволяет определить вероятность (частоту, частость) появления случайной величины в любом интервале ее возможных значений.

Дискретные (прерывные) случайные величины X могут принимать только ряд отдельных значений х\, х₂,..., *п, каждому из которых соответ­ствует некоторое значение вероятности Р\, /V, • • •> Рп-Рассматривая появление любого из перечисленных зна­чений прерывной случайной величины как события, заметим, что эти события образуют полную группу несовместных случайных событий, а следовательно

Распределение прерывной случайной величины мо­жет быть представлено в виде таблицы, называемой рядом распределения (табл. 2) или графически много­угольником распределения (рис. 21).

Таблица 2. Ряд распределения случайной величины
Значения случайной величины X	x1	x2	…	xn
Вероятность P(X=xi)=P	P1	P2	…	Pn

При графическом представлении (см. рис. 21) по оси абсцисс откладывают значения случайной величинылг_г-, а по оси ординат — вероятности Р_г, соответствующие этим значениям.

Ряд распределения и многоугольник распределе­ния— один из возможных форм представления зако­на распределения случайной величины.

Ряд распределения — удобная форма представле­ния закона распределения дискретной случайной вели­чины с конечным числом возможных значений. В слу­чае непрерывной случайной величины, которая имеет бесчисленное мпожегпю з начений, такая форма закона распределения непригодна. В данном случае использу­ют не вероятность события Pi(X = Xi), а вероятность со­бытия P(X<iXi). Это озна­чает, что случайная величи­на X примет значение, мень­шее какого-либо наперед вы­бранного значения х( — <х><

Функция (интегральный закон) распределения слу­чайной величины — наибо­лее универсальная характеристика как дискретных (прерывных), так и непрерывных случайных величин.

Если X – случайная величина, а x – некоторое действительное число, то вероятность того, что X<x:

где F(x) – функция распределения.

Функцию распределения можно представить в виде графика, если по оси абсцисс откладывать значение x, а по оси ординат – значение F(x).

Если X – дискретная величина, то на основании теории сложения вероятностей несовместных событий ее функция распределения будет иметь вид: .

Для дискретной случайной величины график функции распределения будет иметь вид ступенчатой кривой (рис. 22). С увеличением числа значений x число ступеней (скачков) будет увеличиваться, а их величина – уменьшаться.

Функцию распределения непрерывной случайной величины изображают плавной кривой (рис. 23). При любом значении x 0<F(x)<1.

В эмпирических распределениях возможные значения случайных величин оцениваются частотами или частностями, полученными в результате испытаний или опытов.

На практике при изучении непрерывных случайных величин их полученные значения делят на интервалы или разряды. После этого подсчитывают частоты не по действительным значениям случайной величины, а по разрядам, т. е. мы будем иметь дело не с частотами зафиксированных значений непрерывной случайной ве­личины, а с частотами их значений, лежащих в грани­цах установленного разряда или интервала.

В таблице эмпирического распределения (табл. 3) случайной величины указывают интервалы (разряды) значений x_i,

частоту m_i и частость .

Таблица 3. Эмпирический ряд распределения случайной величины
Значения случайной величины X
Частота (mi)	m1	m2	…	mn
Частость (mi / N = Wi)	m1 / N = W1	m2 / N = W2	…	mn / N = Wn

Эмпирическое распределение может быть изобра­жено в виде ступенчатого графика, называемого гисто­граммой распределения, или в виде ломаной линии (кривой, называемой поли­гоном распределения (рис. 24). Реже пользуются кри­вой накопленных частостей (накопленной эмпирической кривой распределения) или кумулятой.

На гистограммах или по­лигонах распределения по оси абсцисс откладывают интервалы полученных по наблюдениям значений случайных величин, а по оси ординат- — их частость или ча­стоту

(3.6)

Высота прямоугольника гистограммы равна частоте 1Пг' (частости W) распределения, а основание —интер­валам или разрядам, на которые разделены зафиксированные" значения xl

При построении гистограмм и эмпирических кривых распределения промежуток, внутри которого за­ключаются значения Xj, делят на равные интервалы (разряды).

Таким образом, функция распределения вероятнос­тей может характеризовать как дискретные (прерыв­ные), так и непрерывные случайные величины и явля­ется неубывающей функцией, изменяющейся от 0 до 1.

Функция распределения непрерывной случайной ве­личины имеет тот недостаток, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в не­большой окрестности той или иной точки на числовой оси.

О характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек можно су­дить на основании особой функции, которая называет­ся плотностью распределения вероятности или плот­ностью распределения.

Плотность распределения непрерыв­ной случайной вел и ч и и ы —это производная от функции распределения непрерывной случайной ве­личины:

Для дискретной величины функция плотности распреде­ления не существует.

Графически плотность рас­пределения представляет собой кривую распределения непре­рывных случайных величин (рис. 25).

Площадь элементарного прямоугольника, равную про­изведению f(x)dx, называют элементов вероятности.

Для определения вероятно­сти Р(Х<х) необходимо вы числить площадь, заключенную между кривой и осью в интервале от —оо до х.

Для этого необходимо сложить все элементы ве­роятностей, заключенные в данной площади в интер­вале от -∞ до х, т. е.

Плотность распределения характеризуется следую­щими основными свойствами.

1. Она неотрицательная функция от х вследствие того, что F(x) —неубывающая функция.

2. Площадь, ограниченная кривой f(x) и осью абсцисс (интеграл от плотности распределения в бесконечных пределах), равна единице, т. е.

При изучении случайных величин часто достаточно знать числовые характеристики распределения случай­ной величины.

Характеристики (параметры) распределения случай­ных величин. Числовые характеристики, подсчитанные по полученным значениям в процессе испытания или опыта случайной величины называют статистичес­кими характеристиками. Характеристики, определенные по теоретическим законам распределения, называются параметрами распределения.

Основными статистическими характеристиками слу­чайных величин, изучаемых в теории надежности, слу­жат среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонения.

Среднее арифметическое — это частное от деления суммы измеренных значений на число слагае­мых этой суммы, т. е. на число испытаний (опытов):

(3.7)

где - среднее арифметическое из N испытаний; x₁, x₂, … , x_n – отдельные измеренные значения наблюденной величины; N – число проведенных испытаний.

В том случае, когда среди полученных значений случайных величин имеются одинаковые, несколько раз повторяющиеся с определенной частотой, их сред­нее значение называется средней взвешенной.

Средняя взвешенная величина определяется по формуле:

(3.8)

Тогда

(3.9)

Для упрощения среднюю взвешенную очень часто подсчитывают по следующей формуле:

(3.10)

где А – произвольное число, которое подбирают так, чтобы разности (x_i – A) были возможно простыми и малыми числами.

Обычно А выбирают приблизительно равным сред­нему значению случайной величины на глаз или рав­ным значению, соответствующему наибольшей частоте значений случайной величины в ряду распределения.

Из формулы (3.10) следует, то средняя взвешенная подсчитывается как сумма произведений значений случайной величины Хг на соответствующие им частос­ти mi/N, т. е.

(3.11)

При достаточно большом числе испытаний частности приближенно равны соответствующей вероятности:

Заменив в формуле (3.11) относительные частоты соответствующими вероятностями,

(3.12)

получим для диск­ретной случайной величины равенство для определения математического ожидания:

Математическое ожидание дискретной случайной величины, подсчитанное по заданному зако­ну распределения, называется суммой парных произведений возможных значений случайной величины х\

на соответствующие им вероятности Pi.

Для непрерывной случайной величины:

(3.13)

Среднее значение характеризует центр группирования значений случайной величины. При N^-oo величи­на X стремится по значению к математическому ожи­данию, т. е. ХхMX.

Мода М„ эмпирической совокупности — это значение прерывной случайной величины Xi, соот­ветствующее наибольшей ординате полигона распреде­ления (рис. 26,а). За

моду прерывной случайной ве­личины принимают значение, имеющее наибольшую вероятность.

Мода Моо теоретического распределе­ мяльному значению плотности распределения f(x) (рис. 26, б).

Модой также называется значение признака, встре­чающееся с наибольшей частотой, т. е. значение приз-нака, наиболее типичное в данном статистическом ряду.

Медиана М _е или срединное значение эмпирической совокупности — это такое за­фиксированное значение случайной величины Xi, кото­рое .является срединным членом (объектом) в ряде значений, упорядоченных по их возрастанию или убы­ванию.

Другими словами, медианой называется значение признака, относительно которого эмпирическая сово­купность делится на две равные по числу членов части

Медиана М_ео теоретического распре­деления случайной в е л и ч и н ы — это такое значение xt, при котором вероятность появления вели­чин х, меньших Мео, равна вероятности появления ве­личин X, больших М_ео,

Ордината кривой распределения, соответствующая значению случайной величины х=М_во, делит площадь под кривой распределения на две равные части (рис. 27).

Если дифференциальная функция распределения f(x) симметрична относительно среднего арифметического значения X и имеет один максимум, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием, т. е.

Разброс случайной величины относительно центра распределения (среднеарифметической, математическо­го ожидания, моды или медианы) характеризуется мерами рассеивания.

К мерам рассеивания относятся: размах, дисперсия (рассеивание), среднее квадратическое отклонение (стандарт) и коэффициент вариации.

Лекция№7 Меры рассеивания случайных величин

1. Размах распределения

2. Дисперсия (рассеивание),

3. Среднее квадратическое отклонение (стандарт)

4. Коэффициент вариации

Литература: 1.[ 1 ], стр 53-61

2.[ 2 ], стр 73-76

К мерам рассеивания относятся: размах, дисперсия (рассеивание), среднее квадратическое отклонение (стандарт) и коэффициент вариации.

Размах R распределения (диапазон рассеивания) в эмпирической совокупности — разность между максимальным и минимальным из значений случайной величины Х_i, полученных в результате испытаний. Размах определяют по формуле:

(3.14)

Им пользуются в эмпирических распределениях как мерой рассеивания при малом числе испытаний N<25.

Рассеивание (степень изменчивости) случайной величины наиболее часто измеряют дисперсией (рассеиванием) и средним квадратическим отклонением, взятых с положительным знаком.

(3.15)

При

(3.16)

.

Эмпирическая дисперсия S² — величина рассеивания зафиксированных значений вокруг их среднего значения. При малом числе наблюдений, т. е. при N<25, эмпирическое среднее квадратическое отклонение и среднее квадратическое отклонение (стандарт) будут соответственно равны корням квадратным из дисперсии S² и из DX

Дисперсия для дискретной случайной величины теоретического распределения будет выглядеть так:

Для непрерывной, заданной плотностью вероятности f(x)

При

При малом числе наблюдений, т. е. при при N<25 размерность S и DX совпадает с размерностью самой случайной величины х.

При

Если при вычислении исходят не из отклонений от средней арифметической, а из непосредственно измеренных величин, то чтобы при вычислении не возводить в квадрат многозначные числа, можно пользоваться отклонениями от условно избранной любой постоянной величины А с последующим расчетом по формуле:

и определяет широту кривой распределения. На рисунке 28 изображено несколько кривых распределения с различными σ и одним и тем же х

С реднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно корню квадратному из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

Дисперсия суммы (разности) взаимно независимых случайных величин равна сумме (разности) их дисперсий:

Если взаимно независимые случайные величины одинаково распределены, средние квадратические отклонения σ каждой из них равны между собой и на основании формулы

Среднее квадратическое отклонение величины среднего арифметического значения X (средняя ошибка) составляет 1/N от σ_x и вычисляется так:

Таким образом, среднее квадратическое отклонение среднего арифметического σ_x одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в 1/N раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин.

Где - максимальное по абсолютной величине отклонение, равное

Совокупность не содержит грубых погрешностей согласно критерию Райта в том случае, если при обработке результатов испытаний (опытов) может возникнуть необходимость сравнить различные распределения, а также рассеивание разнородных величин. Для сравнения рассеивания разнородных величин дисперсия и стандарт не могут быть использованы. В качестве отвлеченной меры рассеивания, не зависящей от единиц измерения сравниваемых величин, принимается коэффициент вариации или изменчивости v*.

Для эмпирического распределения он выражается через отношение эмпирического среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому. Он показывает, насколько велико рассеивание по сравнению со средним значением случайной величины.

Коэффициент вариации для теоретического распределения представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации может выражаться в процентах

Тот из рядов распределения имеет большее рассеивание, у которого больше коэффициент вариации

Лекция№8 Элементы вероятностной теории надежности машин

1. Физические и вероятностные модели возникновения отказов.

2. Надежность и ее основные характеристики.

3. Показатели основных характеристик надежности.

Литература

Говорущенко Н.Я. Эксплуатация автомобиля