Раздел 4 Экономический анализ инвестиций Методы финансовых вычислений

Основным методологическим принципом экономического анализа инвестиций является измерение ценности денег во времени (time value of money). Согласно этому принципу ценность номинальной суммы, скажем, в 100 руб сегодня и через год не одинакова. Интуитивно в первую очередь это связывается с инфляцией, однако, неравноценность текущих платежей и отсроченных имеется и при отсутствии инфляции. Это связано с тем, что имея деньги сейчас, мы можем запустить их в оборот, например, вложить в банк, и получить доход через определенный период. Увеличение первоначального вклада будет выражаться формулой сложного процента:

,

где i – процентная ставка, t – срок обращения вклада, имеющего первоначальную величину P.

Важным свойством сложного процента является то, что результат зависит от того, сколько раз производится начисление в течение базового периода. Так, например, если t выражено в годах, а i – в процентах годовых, то начисление процента 4 раза в год даст иной результат, если начисление будет производится 2 раза в год. При условии, что количество промежуточных начислений равно m, величина сложного процента составит:

.

Увеличение количества промежуточных начислений приводит к увеличению результата, поскольку, чем чаще производятся начисления, тем больший размер приобретают проценты на процент. Однако, этот рост не безграничен, поскольку существует предел:

.

Предельная формула представляет собой случай непрерывного начисления сложного процента. Она не используется в реальной деловой практике, но применяется в математических моделях экономических систем. Она в явном виде формирует качественное представление об экспоненциальном росте сложного процента.

Формулу сложных процентов можно использовать не только для расчета будущего значения вклада, но и для определения текущей ценности вклада, состояние которого в некоторый момент времени t оценивается величиной F:

.

Приведение разнесенных во времени денежных поступлений и платежей к единому периоду является основополагающим условием их сравнения между собой.

Будем называть потоком платежей периодические вклады (выплаты), выполняемые в течение какого-либо отрезка времени с целью накопления (погашения) при одновременном начислении процента. Пусть в момент времени t=0 производится взнос a. К началу следующего периода t=1 на этот взнос начисляются проценты a(1+i) и добавляется еще один взнос a. К периоду t=2 первый взнос уже составит , второй – a(1+i) и добавится третий взнос. Далее операция повторяется до достижения периода , к началу которого:

где – самый первый вклад с процентами, a – самый последний вклад, на который проценты еще не начислялись. Сумма членов полученной прогрессии равна:

,

где – множитель будущего значения потока платежей (процентирующий множитель). Приведённая формула позволяет рассчитать будущую ценность потока платежей в начале периода T (или пренумерандо). Для того, чтобы найти значение уже в конце последнего периода (постнумерандо), необходимо увеличить его на величину начисленных за это время процентов:

Рассмотренная схема потока платежей точно также может быть использована для определения текущей, т.е. на сегодняшний день, ценности денежного потока. Для расчета воспользуемся формулой сложного процента в виде . Для расчета непосредственно через a подставим значение :

,

где – множитель текущего значения потока платежей (дисконтирующий множитель).

Практическая ценность полученных формул заключается в том, что использование текущего значения в расчетах часто более удобно, чем формул будущего значения. Пусть имеется некая задолженность размером A, которая погашается в течение T периодов. Удобным способом возврата является такой, при котором погашение осуществляется равными долями, т.е. платежами одинаковой величины a, именуемых аннуитетом. По мере возврата средств на остаток одновременно начисляется процент, поэтому размер платежа должен быть рассчитан таким образом, чтобы их сумма была равна первоначальной задолженности A плюс проценты, начисленные за время погашения.

Будем рассуждать следующим образом. С первым платежом уменьшается не только значение долга, но и сумма начисляемых на него процентов. С точки зрения кредитора ценность первого платежа равна , поскольку он «уносит» проценты за T периодов. Второй платеж несет в себе проценты за период, и так далее. Сумма этих «уцененных» платежей как раз равняется значению задолженности без учета начисленных процентов, то есть, начальному значению A. Нетрудно убедиться, что , откуда легко найти a.

К такому же выводу можно было бы прийти, используя будущее значение: для неизвестных периодических платежей a будущее значение также неизвестно, но известно, что это получается из начальной суммы A. Приводя A к будущему моменту времени, получим:

.

Откуда видно, что . Попутно мы получаем результат, который пригодится при формировании инвестиционных бюджетов, в которых важно не просто использовать величину аннуитета, но и выделить в каждом платеже величину процентов и погашения тела кредита.

Рассмотренный метод дисконтирования денежных потоков используется для оценки эффективности инвестиционных проектов. Будем рассматривать некоторый проект длительностью T лет при цене капитала r. Текущей ценностью⁵ проекта называется дисконтированная сумма чистого денежного потока:

.

Рис. 1. Финансовый профиль проекта. Цифрами обозначены: 1 – инвестиционная фаза, 2 – максимальный денежный отток, 3 – срок окупаемости.

При выполнении условия проект следует принять к реализации, в противном случае – отвергнуть. Такую оценку мы назвали абсолютной потому, что для принятия решения не требуется сравнение данного проекта с какими бы то ни было другими. Однако, если быть более точным, критерий использует неявное сравнение нормы эффективности денежных потоков со ставкой дисконтирования r. Это сравнение заключается в том, что если , то доходность проекта эквивалентна вложению капитала под r процентов годовых. Если же критерий выполняется как строгое неравенство, то величина W показывает, на сколько денежный доход от проекта превышает доход от вложения с нормой эффективности r.

Если рассматривать W как функцию от t то ее график называется финансовым профилем проекта (рис. Error: Reference source not found). По нему наглядно определяется ряд важных показателей проекта. Фаза строительства характеризуется отрицательным наклоном кривой. Изменение направления наклона соответствует началу функционирования предприятия. Это не исключает того, что инвестиции могут продолжаться. Срок окупаемости соответствует переходу кривой в положительную область. Максимальный денежный отток соответствует наибольшему отрицательному значению W. Он характеризует необходимый объем привлекаемых средств и при этом не всегда совпадает с объемом инвестиций.

Чем большее значение коэффициента дисконтирования мы принимаем, тем ближе будет финансовый профиль «прижиматься» к оси, поскольку увеличение r приводит к уменьшению абсолютного значения слагаемых в правой части. Видно, что это также приводит к увеличению срока окупаемости.

Одним из важнейших свойств любых методов, основанных на суммировании дисконтированных денежных потоков является то, что результат зависит от выбранной ставки дисконтирования. Особенно важным это свойство становится при ранжировании вариантов, поскольку изменение ставки вследствие, скажем, затруднений с определением ее значения, может привести к иному, возможно неправильному, инвестиционному решению. В связи с этим возникает потребность в таком показателе эффективности, который бы не зависел от цены капитала.

Будем рассматривать величину NPV как функцию норматива эффективности: . Если , то увеличивая значение аргумента, можно получить такое , что . Величина R является предельным значением норматива, при котором рассматриваемый проект является эффективным. Если r – это норматив эффективности для всех сравниваемых проектов, то R – внутренний норматив эффективности (или внутренняя норма доходности⁶) для каждого конкретного проекта.

Если рассматривается отдельный проект, то он может быть принят к реализации при . При сопоставлении нескольких проектов наиболее эффективным считается тот, у которого R максимально, при этом отсутствует необходимость в использовании норматива эффективности r. Однако, несмотря на такое очевидное удобство, IRR имеет ряд свойств ограничивающих ее применение.