Действия над событиями Алгебра событий

М ежду событиями при фиксации условий их появления Q могут существовать следующие соотношения.

1. Если наступает событие A и при этом происходит событие B , то говорят, что A влечет за собой B.

Это обстоятельство записывается квантором принадлежности  (или  – включения ) события А событию В (рис.1.1) и обозначается А  В или В  А

2 . Если события А и В оба наступают или не наступают, то события А и В (рис.1.2) называют эквивалентными (равносильными) и обозначают А = В. Очевидно, что все достоверные события равносильны между собой и невозможные события равносильны между собой.

3 . Событие С (рис.1.3), состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий A и B и обозначается

C = AB, или C = A B.

Произведение двух событий обобщается на любое число событий:

, или .

4. Событие C состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A и B , называется суммой событий A и B (рис.1.4) и обозначается

C = A + B, или C = A .

Сумма двух событий обобщается на любое число событий:

, или .

Достоверным событием в опыте называется событие, которое происходит при каждом повторении опыта ( ).

Невозможное событие в опыте никогда не происходит ( ).

Случайное событие – это событие, которое может произойти и не произойти (А, В, С).

Событие А влечет за собой В в опыте, если из осуществления события А следует наступление события В.

События А и В равные (А=В), если и .

Суммой событий А и В называется событие А+В, состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий .

Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее в одновременном появлении этих событий .

Разностью событий А и В называется событие А\В, состоящее в том, что событие А произойдет, а В – нет.

Событие называется противоположным события А , если оно заключается в не появлении события А.

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Свойства событий

А+ = ;

А* =А;

А*А=А;

А+А=А;

С(А+В)=СА+СВ;

А+ =А;

А* = ;

(А\В)(В\А)= ;

А+В=В+А;

АВ=ВА;

Частота события

Пусть в n опытах событие А произошло раз. Частотой события А называется отношение:

, где

- количество опытов, в котором появляется событие А;

- количество опытов.

Свойства частоты:

1) ;

2) ;

3) Если события А и В несовместны и событие А появилось раз, а В - раз, то :

До опыта (априори) частота являлась случайной величиной, то есть предсказать ее точное значение до проведения серии из n опытов нельзя. Однако, природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. То есть при увеличении числа опытов n, значение частот начинает стабилизироваться около некоторого числа Р(А).

Число Р(А) – вероятность событий (по Мизесу).

Классическое определение вероятности

(применяется в опытах, сводится к схеме случая)

Опыт сводится к схеме случаев, если ему соответствует конечное число исходов.

Вероятностью события А называется численная мера объективной возможности появления этого события:

- классическая формула,

где n – число всех исходов опыта;

m – количество случаев в опыте, благоприятствующие появлению события А.

Пример 2. (условия примера см. выше)

Р(А) =

Р(С) = =