Свойства вероятности. Условная вероятность

Для любых событий А и В вероятность суммы этих событий равна:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ)

А=(А\В) + АВ

Событие (А\В) и АВ – несовместные Р(А)=Р(А\В + АВ) Р(А\В)+Р(АВ)

А+В=(А\В)+В

События (А\В) и В – несовместные.

Р(А+В)=Р((А\В)+В) Р(А\В)+Р(В)

=Р(А)-Р(АВ)+Р(В)

Р(А+В) Р(А)+Р(В)

Если событие образуют полную группу, то их вероятностей равна 1.

Доказательство: так как события образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них в опыте событие достоверное:

Следовательно, вероятность события:

Р( ) = Р( ) =1

Так как события несовместные, то по аксиоме 3 можно записать:

Сравнивая два последних уравнения, видно что мы доказали, что требовалось доказать:

=1.

Следствие: сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Р(А) + Р( ) =1.

т.к. события и , образуют полую группу событий (Доказательство то же самое).

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность каждого случая определяется по формуле:

где - количество случаев в опыте.

Доказательство:

т.к. события обрабатывают полную группу событий, то вероятность суммы:

События - равновозможные, т.е. появление их в опыте равновероятно

т.е. .

Условная вероятность.

События А и В называются независимыми , если вероятность появления события А не зависит от появления события В.

Условной вероятностью события А относительно события В, если , называется вероятность осуществления события А при условии, что событие В произошло и нам это известно.

Пусть опыт сводится к схеме случаев, в котором наблюдается события А, В, АВ.

Всего случаев в опыте – n, появлению события А благоприятствует случаев и событию из n возможных.

Пусть события В произошло реально в опыте могли осуществиться только случаев. Причем из них (из ) только случаев благоприятствуют появлению события A.

Свойства:

Лекция 2 Основные теоремы теории вероятностей

2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Т еорема 2.1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Докажем теорему для схемы случаев. Доказательство проводится методом полной индукции.

Рассмотрим два несовместных события и . Событию благоприятствует m, а событию - благоприятствует k случаев (рис.2.1), т.е. , .Так как и несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и вместе ( ). Следовательно, событию B = + благоприятны m + k случаев и

P(B) = P( + ) = (m + k)/n = m/n + k/n = P( ) + P( ).

Отсюда следует, что для трех несовместных событий

P(B+ ) = P(B) + P( ) =P( ) + P( )+ P( ).

Тогда для события С = + + … + имеет место

P(С+ ) = P(С) + P( ) =P( ) + P( )+ … +P( ),

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

.

Доказательство. Так как события образуют полную группу несовместных событий, то появление хотя бы одного из них –достоверное событие и P( ) = 1. Так как –несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей, откуда следует, что

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Это следствие является частным случаем следствия 1, так как А и образуют полную группу несовместных событий. Оно имеет большое значение, поскольку на практике часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, после чего вероятность прямого события вычислить по формуле .

Пример: В лотерее 1000 билетов, из них: на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов - выигрыш по 100 руб., на 50 билетов - выигрыш по 20 руб., на 100 билетов - выигрыш по 5 руб., остальные билеты не выигрышные. Вы покупаете один билет. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события: - выиграть не менее 20 руб., - выиграть 20 руб., - выиграть 100 руб., - выиграть 500 руб. Очевидно, что А = + + . Тогда по теореме сложения вероятностей P(А) = P( ) + P( ) + P( ) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061