Лекция 3 Основные формулы вычисления вероятностей сложных событий

3.1. Формула полной вероятности

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А , которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий (известны вероятности этих событий и условные вероятности ).

Ответ дает следующая теорема.

Теорема 3.1. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий ,образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

.

Эта формула носит название формулы полной вероятности, а

события называются гипотезами.

Доказательство. Так как события ,образуют полную группу несовместных событий, то событие А может появиться только с одним из несовместных событий, т.е.

.

По теореме сложения независимых событий

.

По теореме умножения зависимых событий

.

Подставив второе и третье соотношение в первое, получим формулу полной вероятности теоремы 2.7.

П ример: Имеются три одинаковые урны (рис.2.7). В первой урне два белых шара и один черный;

во второй – три белых и один черный;

в третьей – два белых и два черных. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение. Рассмотрим события:

А – появление белого шара, – выбор первой урны, – выбор второй урны, – выбор третьей урны.

Так как ,образуют полную группу несовместных событий, то = 1. Следовательно

.

Условные вероятности события А при осуществлении событий соответственно равны:

.

По формуле полной вероятности

= 1/3  2/3 + 1/3  3/4 + 1/3  2/4 = 23/36.

3.2. Теорема гипотез. Формула Байеса

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая теорема гипотез, или формула Байеса.

Имеется полная группа несовместных гипотез (событий) . Известны вероятности этих гипотез до опыта …, . Произведен опыт, в результате которого имело место событие А. Требуется определить условную вероятность гипотезы после того, как имело место событие А .

Теорема 3.2. Пусть , полная группа несовместных событий. Тогда, если произошло событие A, то

.

Доказательство. Пусть произошло событие А с одним из событий , т.е. событие А . По теореме умножения

,

откуда

.

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности , получим формулу теоремы 3.2.

Формула теоремы 3.2. носит название формулы Байеса, а сама теорема 3.2 – теоремы гипотез. Теорема гипотез позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример: Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одному выстрелу по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого стрелка 0,8, второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Решение. До опыта возможны следующие гипотезы: – оба

стрелка промахиваются, – оба стрелка попадают, – первый стрелок попадает, второй не попадает, – второй стрелок попадает, первый не попадает. Вероятности этих гипотез равны: Р( ) = 0,2  0,6 = 0,12;

Р( ) = 0,8  0,4 = 0,32; Р( ) = 0,8  0,6 = 0,48; Р( ) = 0,2  0,4 = 0,08.

Условные вероятности наблюдаемого события А при этих гипотезах равны: . После опыта гипотезы и становятся невозможными, а вероятности гипотез , при условии, что событие А произошло, равны:

=

= (0,48  1)/(0,48  1+ 0,08  1) = 6/7,

=

= (0,08  1)/(0,48  1 + 0,08  1) = 1/7.