Тема 2. Случайные величины и их распределения Лекция 4 Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины.

В общем случае случайной величиной называется величина (будем обозначать ее буквой X), которая в результате опыта может принимать одно из значений , образующих полную группу несовместных событий, причем неизвестно заранее, какое именно.

Конкретизируя это понятие в качестве примера случайной величины X можно рассматривать полную группу очков игральной кости, в которой числа 1,2,3,4,5,6 есть возможные несовместные значения этой величины.

Поскольку, как мы уже отмечали, числа 1,2,3,4,5,6 образуют множество элементарных событий  = {1,2,3,4,5,6}, где каждому элементарному событию  пространства  ставится одно и только одно единственное число, то в этом смысле случайную величину можно рассматривать как функцию случайного элементарного события  : Х = Х(). Аргументом этой функции является случай (элементарное событие ), поэтому ее естественно называть случайной величиной.

Возможное численное значение , которое может принимать случайная величина X, определяется вероятностью появления этого числа. Вероятность того, что значение случайной величины X = определяется математическим выражением .

Так как возможные значения реализации случайной величины Х образуют полную группу несовместных событий, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице, т.е.

.

По характеру реализаций случайные величины разделяют на дискретные и непрерывные.

Дискретной (не непрерывной) случайной величиной называют случайную величину Х, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями .

Всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называют законом распределения случайной дискретной величины.

Определение 4.1. Законом распределения случайной величины X называется совокупность пар чисел ( , ), где - возможные значения случайной величины, - вероятности, с которыми она принимает эти значения. При этом

.

Простой формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

X			...
p			...

Такая таблица называется рядом распределения случайной величины X.

Пример таблицы, описывающей закон распределения случайной дискретной величины X:

X	-10	5	10	15	20
p	0,30	0,40	0,25	0,04	0,01

Чтобы придать ряду наглядный вид его графически изображают в виде многоугольника распределения (рис.4.1).

М ногоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует дискретную случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Непрерывной называют случай-ную величину, которая может прини-мать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений случайной непрерывной величины бесконечно.

Расширим понятие случайной величины не стесненное ограничением множества ее возможных значений.

Определение. Числовая функция X() называется случайной величиной, если для любого ее возможного значения , где множество  - есть множество элементарных событий , определена вероятность P{X() < x} и P{- < X() < } =1.

Функция распределения случайной величины

Обозначим вероятность P(X  x) через F(x). Функция F(x) называется функцией распределения

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. F(x) = P(X  x).

Функция распределения полностью характеризует дискретную и случайную непрерывную величину с вероятностной точки зрения, т.е.

является одной из форм закона распределения.

Функция распределения имеет следующие основные свойства.

1.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:

0  F(x)  1

Доказательство вытекает из определения F(x) как вероятности

0  P( X < x )  1.

2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F( ) > F( ), если >

Доказательство. Представим событие (X < ) (рис.3.2) суммой двух несовместных событий (X < ) + (  X < ).

Тогда по теореме сложения имеем

Р (X < ) = Р(X < )+P(  X< ),

или

Р(X < ) - Р(X < )=P(  X < ),

откуда

F( ) – F( ) = P(  X < ) > 0.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале от до , равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(  X < ) = F( ) – F( ).

Это следствие вытекает из соотношения F( ) – F( ) = P(  X < ).

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно положим = +х, тогда согласно следствию 1

Р(  X < +х) = F( +х) – F( ).

Так как X непрерывная случайная величина, то F(x) непрерывна. Тогда при х 0 разность F( +х) – F( ) 0. Следовательно, P(X = ) = 0.

Используя это положение, можно убедиться в справедливости равенств

P(  X < ) = P(  X < ) = P(  X  ) = P(  X  ).

В частности, первое равенство доказывается так:

P(  X < ) = P(X = ) + P(  X  ) = P(  X  )

остальные доказываются аналогично.

3. F() = 0. Это свойство отражает тот факт, что нет значений случайной величины меньших, чем отрицательная бесконечность  невозможное событие, т.е. F() = Р(Х) = Р() = 0.

4. F() = 1. Это свойство отражает тот факт, что значения случайной величины всегда меньше, чем положительная бесконечность  достоверное событие, т.е. F() = Р(Х) = Р() = 1.

Для наглядности функцию распределения F(x) представляют в виде графика. Функция распределения F(x) в общем случае представляет собой график неубывающей функции с конечным числом точек разрывов (скачков), значения которой начинаются от 0 и кончаются 1.

П ример: Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выражением (рис. 3.3):

а) Найти коэффициент а.

б) Построить график F(x).

в) Найти вероятность попадания x в интервал от 1 до 2.

Решение: а) Так как функция F(x) непрерывна по x, то при x = 3 имеет место F(x) = = 1, откуда а = 1/4.

б) Функция распределения F(x) вычисляется по формуле F(x) = ,

график функции представляется в виде (рис.3.3).

в) Вероятность P(1 < x < 2) определяется по формуле

P(1 < x < 2) = F(2) - F(1) = 3/8 – 0 = 3/8.

Зная ряд распределения дискретной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины, определив ее выражением:

F(x) = P(X < x) = ,

где неравенство < x под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все значения , которые меньше x.

К огда текущая переменная x проходит через какое-нибудь из возможных значений дискретной величины X, то функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Пример: Построить функцию распределения F(x) по ряду (таблице) распределения дискретной случайной величины Х.

Построим функцию распределения F(x):

1 ) F(x) = 0 при x < -10

2) F(x) = 0.3 при -10  x < 5

3) F(x) = 0.7 при 5  x < 10

4) F(x) = 0.95 при 10  x < 15

5) F(x) = 0.99 при 15  x < 20

6) F(x) = 1 при x  20

График функции распределения F(x) имеет вид (рис.4.4).

Таким образом, функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна единице.

Плотность распределения случайной величины

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией распределения F(x), которая в силу непрерывности Х предполагается непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от x до x + x :

P(x  X < x + x) = F(x + x) - F(x).

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка x. Будем приближать x 0. В пределе получим производную, которую обозначим

Ф ункция характеризует (по аналогии с плотностью массы в точке) плотность вероятности случайной величины в данной точке. Эту функцию называют плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной вели-чины.

Величина dF = dx называется элементом вероятности. Геометрически изображается кривой распределения (рис.4.5), а элемент вероятности площадью прямоугольника, опирающегося на отрезок dx.

Плотность вероятности обладает следующими свойствами.

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция 0.

Действительно, = , так как F(x) – неубывающая функция, то

с точностью до величины второго порядка малости

.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице

Действительно:

Это свойство отражает достоверность события (  Х  ). Часто это свойство называют условием нормировки.

3 . Плотность распределения (рис.4.6) определяет функцию распределения случайной величины по формуле

Покажем справедливость этой формулы

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал [а, b) (рис.4.7) определяется ¦по формуле

Р(а  Х  b) = .

Покажем это:

Пример: Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выражением:

Определить коэффициент а, плотность распределения и найти вероятность попадания величины X на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. В силу непрерывности функции F(x) при х = 1 имеет место F(x) = F(1) = = 1, откуда а = 1.

В соответствии с определением плотности распределения плотность распределения случайной величины X выражается формулой:

Вероятность .