Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	Первообразная функция	Функция называется первообразной для функции на ( ), если на этом интервале
2.	Неопределенный интеграл	Совокупность всех первообразных для функции на ( ) называется неопределенным интегралом от и обозначается .
3.	Свойства неопределенного интеграла	+С.
4.	Таблица основных интегралов	1) , ; 2) 4) 5) 6) 8) 9) ;
5.	Замена переменной в неопределенном интеграле	а) б)
6.	Интегрирование по частям неопределенного интеграла
7.	Универсальная тригонометрическая подстановка	=

Тема 9-10 Определенный интеграл.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

( 1 )

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

= .

Экономический смысл интеграла. Если - производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток

. Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

,

где - некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых

4. Если на отрезке , где , , то и

.

Следствие. Пусть на отрезке , где , , где и - некоторые числа. Тогда

.

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что

.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда имеет место равенство

= .

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и , на отрезке вычисляется по формуле

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Тогда объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , и находится по формуле

.