Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	Определение числового ряда	, где -й член ряда
2	Частичная сумма ряда. Сходимость ряда.	- -я частичная сумма ряда. Ряд сходится к сумме , если существует
3	Ряд геометрической прогрессии	сходится, если и расходится, если
4	Гармонический ряд	- расходящийся ряд
5	Необходимое условие сходимости ряда	Если ряд сходится, то
6	Признак сравнения знакоположительных рядов	Даны ряды и , , . Если для любого , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .
7	Признак Даламбера	Дан ряд , . Если то при ряд сходится, при ряд расходится.
8	Интегральный признак Коши	Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл где - невозрастающая на функция.
9	Теорема Лейбница	Ряд сходится, если члены ряда монотонно убывают и
10	Степенной ряд	, где - коэффициенты степенного ряда
11	Радиус и интервал сходимости степенного ряда	- радиус сходимости, если при ряд сходится, а при - расходится. ( ) – интервал сходимости степенного ряда.
12	Определение радиуса сходимости степенного ряда
13	Ряд Маклорена
14	Разложение функций в ряд Маклорена	; ; ; ;

Тема 15 Функции многих переменных.

Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимой переменной. Множество Х называется областью определения функции.

Многомерным аналогом функции полезности является функция , выражающая зависимость от приобретенных товаров.

Также на случай переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов .

Функцию двух переменных будем обозначать . Ее область определения есть подмножество координатной плоскости. Окрестностью точки называется круг, содержащий точку .

Число называется пределом функции при и (или в точке ), если для любого малого числа найдется число (зависящее от ), такое, что для всех точек , отстоящих от точек на расстояние меньшее, чем , выполняется неравенство .

Обозначается предел так; .

Функция называется непрерывной в точке , если она

1. определена в точке

2. имеет конечный предел при и

3. этот предел равен значению функции в точке , то есть .

Величина называется полным приращением функции в точке . Если задать приращение только одной какой – либо переменной то получается частное приращение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует). Таким образом, для функции по определению

.

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, то есть

или .

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение может быть представлено в виде , где

- бесконечно малые при .

Теорема. Если частные производные и функции существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Градиентом функции называется вектор . Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует окрестность точки , такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Теорема. Пусть точка - есть точка экстремума дифференцируемой функции . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.

Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно определить также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Если частные производные второго порядка функции непрерывны в точке , то в этой точке .

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция

1. определена в некоторой окрестности критической точки , в которой .

2. имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка , , .

Тогда, если , то в точке функция имеет экстремум, причем если - максимум, если - минимум. В случае функция экстремумов не имеет. Если , то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные первого порядка.

2. Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Основная литература

1. Д.Письменный. Конспект лекций по высшей математике, Айрис, 2007.

2. К.Лунгу и др. Сборник задач по высшей математике, Айрис, 2009.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 1970.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1985, Т 1.

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971.

Дополнительная литература:

1. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1983.

2. Высшая математика. Общий курс. / Под ред. А.И. Яблонского. – Минск: Высшая школа, 1993.

3. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. – М.: Наука, 1986.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.