Глоссарий

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	Определение определенного интеграла
2.	Свойства определенного интеграла	если , то если , то , 6) если непрерывна на [ a,b ], то [ a,b ], что выполняется :
3.	Формула Ньютона-Лейбница
4.	Замена переменной в определенном интеграле
5.	Площадь криволинейной фигуры, ограниченной
6.	Объем тела вращения

Тема11-12.Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

.

Решением дифференциального уравнение называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его тождество.

Общим решением дифференциального уравнения го порядка называется такое его решение

,

которое является функцией переменных и произвольных независимых постоянных .

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении

( 1 )

функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве координатной плоскости. Тогда

1. Для любой точки множества найдется решение уравнения ( 1 ), удовлетворяющее условию .

2. Если два решения и уравнения ( 1 ) совпадают хотя бы для одного значения , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Дифференциальное уравнение ( 1 ) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от , либо только от .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

,

где , , - некоторые функции переменной ; - функции переменной .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

,

где и - некоторые (непрерывные) функции переменной .

В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

, ( 2 )

где - некоторые действительные числа, - некоторая функция.

Если , то уравнение

( 3 ) называется однородным, в противном случае при уравнение ( 2 ) называется неоднородным.

Теорема. Если и - линейно независимые частные решения уравнения ( 3 ), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, то есть имеет вид

,

Для некоторых действительных чисел и .

Уравнение

( 4 )

называется характеристическим уравнением уравнения ( 3 ).

Теорема.

1. Пусть характеристическое уравнение ( 4 ) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения ( 3 ) имеет вид

,

где и - некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение ( 4 ) имеет один корень (кратности 2), то общее уравнения ( 3 ) имеет вид

,

где и - некоторые числа.

3. Если характеристическое уравнение ( 4 ) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения ( 3 ) имеет вид

,

где , , и - некоторые числа.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ( 2 ) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения ( 3 ) и частного решения исходного неоднородного уравнения ( 2 ).