2.1.7. Метод Жордана-Гаусса
Метод Жордана-Гаусса называют еще методом Гаусса без обратного хода. Сущность его состоит в том, что на втором шаге переменная исключается из всех уравнений, кроме второго, на третьем шаге исключается также из всех уравнений, кроме третьего и т.д. После шагов в каждом уравнении остается одна неизвестная, т.е. получим решение системы таким образом, исключение переменных по методу Жордана-Гаусса эквивалентно преобразованию матрицы коэффициентов в единичную. Рассмотрим таблицу вычислений по методу Жордана-Гауса.
№ шага преобразований |
|
A |
|
C |
B |
0 |
а11 а21 а31 … |
a12 a22 a32 … |
… … … … |
a1n a2n a3n … |
b1 b2 b3 … |
|
аn1 |
an2 |
… |
ann |
bn |
1 |
1 |
|
… |
|
|
0 |
|
… |
|
|
|
0 |
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
0 |
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
n |
1 0 .. 0 |
0 1 .. 0 |
… … … … |
0 0 … 1 |
…
|
Нахождение обратной матрицы методом Жордана-Гаусса
Рассмотрим процедуру определения А-1 на конкретном примере
№ шага преобразования |
А |
Е |
||||
Е1 |
Е2 |
Е3 |
||||
|
4 |
1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
8 |
4 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
4 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
0 |
0 |
1 |
0 |
7,5 |
3 |
-0,5 |
1 |
0 |
|
0 |
1,75 |
3,5 |
-0,25 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0,4 |
0,2667 |
-0,0333 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0,4 |
-0,0667 |
0,1333 |
0 |
|
0 |
0 |
2,8 |
-0,1333 |
-0,2333 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0,2857 |
0 |
-0,1428 |
3 |
0 |
1 |
0 |
-0,0477 |
0,1666 |
-0,1428 |
|
0 |
0 |
1 |
-0,0476 |
-0,0833 |
0,357 |
|
Е1 |
Е2 |
Е3 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
|
Е |
А-1 |
||||
Проверка:
Недостатки метода Гаусса и способы их устранения
Если определитель матрицы А мал, то из-за ошибок округлений сильно снижается точность получения искомых корней.
Метод Гаусса требует, чтобы диагональные элементы в процессе исключения переменных не были равны нулю (т.к. строки делятся на них). Поэтому применяют метод Гаусса с выбором главного элемента, который заключается в следующем. При обращении в нуль элементов первого столбца из всей матрицы выбирается наибольший элемент и затем в нуль элементы второго столбца, рассматривается сокращенная матрица (путем вычеркивания в уже полученной системе первого уравнения) и в ней наибольший элемент переставляется на ее первое место и т.д.
Метод Гаусса требует большего объема памяти ЭВМ по сравнению с итерационными методами. Существуют различные приемы по сокращению занимаемой памяти ЭВМ при решении методом Гаусса электроэнергетических задач.
Например, необходимо решить систему
Yy∙Uy=Iy
при использовании метода узловых напряжений.
Перенумерация
Экономичность памяти
Сокращение времени счета
Y= |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
→ |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
||
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
1 |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
2 |
|
+ |
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
2 |
+ |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
6 |
||||
3 |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
3 |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
10 |
||||
4 |
|
|
+ |
+ |
|
+ |
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
14 |
||||
5 |
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
5 |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
17 |
||||
6 |
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
+ |
|
6 |
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
+ |
+ |
|
21 |
||||
7 |
|
+ |
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
7 |
|
|
|
+ |
|
+ |
+ |
|
|
+ |
24 |
||||
8 |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
8 |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
26 |
||||
9 |
+ |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
+ |
+ |
9 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
27 |
||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
10 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
+ |
|
||||
Я=10∙10=100 |
Я=52 (26) |
|
||||||||||||||||||||||||
В ряде случаев для нахождения корней системы линейных уравнений удобнее пользоваться приближенными итерационными методами (или методами последовательных приближений).