1.2.5. Метод узловых напряжений

В этом методе токи в ветвях определяются через разность напряжений в узлах. Число узлов в схемах обычно меньше числа ветвей, поэтому порядок решаемой системы будет меньше, чем при определении токов “прямым” способом.

		;
; ;
	;			(1)
- система узловых уравнений					(2)

Обратная матрица

М^t – транспонированная матрица М в случае, когда базисный узел системы совпадает с балансирующим.

Базисный узел – это узел, для которого рабочее напряжение задается перед расчетом.

Балансирующий узел – это узел, ток (или мощность) которого равна алгебраической сумме токов (или мощностей) всех остальных узлов в системе, т.е. он является балансирующим по току (или мощности) (здесь проявляется закон единства производства и потребления электроэнергии, сколько выработано, столько и должно быть потреблено).

В случае, если базисный узел не совпадает с балансирующим, то вместо М^t в формуле (1) ставится , которая может быть получена из избыточной первой матрицы инциденций М, т.е. содержащей строку для балансирующего узла, путем вычеркивания строки, отвечающей базисному узлу.

Для определения падений напряжений в ветвях необходимо решить систему узловых уравнений

при наличии ЭДС в ветвях

- матрица узловых проводимостей, может быть определена без расчетов непосредственно при анализе графа сети

			1	2	3	4	5
Yу=	у з л ы	1					0
		2			0	0
		3		0		0
		4		0	0		0
							4 х 4

Элементы из главной диагонали равна сумме продольных проводимостей ветвей, подходящих к соответствующему узлу, а недиагональные элементы равны проводимостям ветвей между соответствующими узлами со знаком “минус” или нуль, если ветвь между узлами отсутсвует.

Матрица Y_у – симметричная.

Итак, по методу узловых напряжений, вначале составляется и решается система уравнений (2) относительно узловых напряжений U^у, затем найденные значения U^у подставляются в выражение (1) и вычисляются искомые токи в ветвях.

1.2.6. Метод контурных токов

Введем новые переменные – контурные токи I_I и I_II.

- вектор-столбец контурных токов.

Через контурные токи определяются токи в ветвях

.

(3)

М_α – первая матрица инциденций, составленная для дерева схемы (дерево выделено на графе сети).

Обратная матрица М_α может быть легко определена по схеме (без процедуры обращения матрицы М_α). Столбцы матрицы содержат пути по ветвям дерева от каждого узла к балансирующему. Если направление движения от узла к балансирующему не совпадает с выбранным направлением в ветви, то ставится +1, иначе -1. Можно говорить наоборот – от балансирующего к каждому, тогда если направление движения совпадает, то +1 иначе -1.

Мα=		Ветви		Мα=	в е т в и	узлы
	у з л ы					1	2	3	4
						1	0	1	1
						0	0	-1	0
						0	0	0	-1
						1	1	1	1

Можно проверить: .

Матрица контурных сопротивлений и также может легко составлена при анализе графа сети. Матрица Z_к – квадратная, ее порядок равен числу контуров. Диагональные элементы равны суммам сопротивлений ветвей, входящих в соответствующие контуры, а недиагональные элементы равны сумме сопротивлений ветвей, общих для двух соседних контуров. Матрица Z_к – симметричная, недиагональные элементы берутся со знаком “-”

=	I
	II

Итак, по методу контурных токов сначала составляется и решается система уравнений относительно контурных токов I_к, порядок которой равен количеству независимых контуров

.

(4)

Найденные значения контурных токов I_к подставляются в выражение (3) для вычисления искомых токов в ветвях I_b.

Целесообразность применения метода узловых напряжений или метода контурных токов определяется в зависимости от физических условий задачи, от принятых допущений, которые сейчас мы не рассматриваем. В одних случаях удобен первый метод, в других – второй. Наибольшее же распространение получил метод узловых напряжений, он реализован в большинстве промышленных программ для расчетов режимов электрических систем.

Отметим также следующее.

Элементами матриц в наших задачах являются комплексные числа (а+jb) или (а-jb), что значительно увеличивает расчеты. Основное расчетное время идет на решение систем уравнений (2) и (4). Если уравнения линейны, то они решаются проще известными методами. На самом деле процессы, происходящие в электрической системе имеют нелинейный характер. Приведение уравнений к линейному виду является упрощением задач и используется, когда не требуется точного решения.

Изложенные методы УУН и УКТ позволяют сформировать уравнения (модель) состояния электрической системы, которые затем решаются известными в математике численными методами. Вообще решение многих задач заключается в формировании систем уравнений и вычислении их корней. Поэтому инженеру необходимо знать и уметь применять численные методы решения систем уравнений.

Далее в разделе 2 мы познакомимся с наиболее известными методами решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.