2.1.4. Вычисление определителя методом Гаусса

Определитель матрицы А порядка n равен произведению всех «ведущих» элементов, полученных после преобразования матрицы «прямым ходом» метода Гаусса

.

Из предыдущего примера:

2.1.5. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

Матрицы А и Е известны, требуется определить А^-1. Обозначим столбцы матрицы А^-1 через X1, X2, …, XN, то есть

.

Столбцы для матрицы Е обозначим через Е₁, Е₂, …, Е_n, то есть

.

Тогда можем записать n систем уравнений

Развернем первое матричное уравнение А∙X1=Е1

.

Другие матричные уравнения аналогичны.

Следовательно, для получения обратной матрицы А^-1 достаточно выполнить n решений методом Гаусса систем линейных уравнений с разными правыми частями - столбцами матрицы Е.

Полученные значения X1, X2, … , XN будут элементами искомой обратной матрицы А^-1.

2.1.6. Трангуляция матрицы

Квадратную матрицу А можно представить как произведение двух треугольных матриц А=L∙W, где

L – нижняя треугольная матрица,

W – верхняя треугольная матрица.

Матрица W вычисляется при прямом ходе Гаусса

_.

У матрицы L наоборот все элементы выше главной диагонали нулевые. Остальные элементы матрицы L вычисляются в результате деления элементов по столбцам, полученных при том же прямом ходе Гаусса, на ведущие элементы. Сначала вычисляются элементы первого столбца матрицы L делением на ведущий элемент а₁₁, затем после первого шага “прямым ходом” метода Гаусса вычисляются элементы второго столбца, начиная с диагонального, делением на ведущий элемент а₁₁ и т.д.

_.

Требуется решить систему уравнений А∙X=В.

Так как А=L∙W, то L∙W∙X=В. Обозначим W∙X=Z.

Тогда вместо системы А∙X=В можем записать ей эквивалентную.

(5)

Решение эквивалентной системы с треугольными матрицами L и W занимает гораздо меньше времени, чем решение исходной системыА·X=В. Это обстоятельство очень важно при необходимости решать систему уравнений многократно при одной и той же матрице А и разных векторах свободных членов В, что обычно имеет место при расчетах режимов работы электрических систем. Триангуляция же матрицыА проводится только один раз.То есть элементы матрицыА – это, как правило, параметры схемы замещения эл. системы, В – вектор узловых токов или мощностей. Часто ставится задача определения параметров большего числа режимов при изменении токов или мощностей потребителей в узлах при неизменной схеме замещения. Если триангуляция матрицыА осуществлена, то можно быстро пользуясь системой (5) посчитать необходимые режимы, меняя в этой системе вектор В. Для каждого режима сначала решается треугольная подсистема L∙Z=В относительно Z последовательной подстановкой в уравнения подсистемы найденных значений неизвестных из предыдущих уравнений, начиная с z₁

_.

Значение z₁ известно из первого уравнения, z₂ определяется из второго уравнения подстановкой в него значения z₁ и т.д. Определяются все Z. Затем аналогично решается вторая треугольная подсистема W∙X=Z путем обратной подстановки, начиная с х_n (аналогично обратному ходу методом Гаусса).