2.Жинақты тізбектер және олардың қасиеттері.Тізбек жинақтылығының Коши критериі.

Жинақты тізбек -   шегі бар болатын а_n сандар тізбегі.Егер X жиынының әрбір белгіленген x₀ нүктесінде f_n(x₀) сандар тізбегі жинақталса, онда f_n(x) функциялар тізбегі X жиынында жинақталады деп айтылады.Теорема

Егер тізбек жинақты болса онда оның тек жалғыз ғана шегі бар.Д/уі Кері жорып жинақты тізбектің шегі бар дейік және

Егер болса онда

x_n

x_n

Бұл екі қатынастан n> max {n₁,n₂} болғанда x_n шығады.Коши критерийі

Х_n тізбегі R жиынында жинақты болу үшін Хn тізбегінің фундаментальді болуы қажетті және жеткілікті. Қажеттілік айталық х_nтізбегі жинақты және оның шегі а болсын сонда мұның фундаментальді екенін көрсетейік

∃ n_bϵ N =>| x_n-a| =

Демек n+p>n_a ушин де фундаментальді

Хn функционалды тізбек

3. Функция шегі.Функция шегінің бар болуының Коши критериі.

Егер х₀ нүктесінің кез келген аймағында Х жиынының х₀- ден өзгеше х нүктесі жатса, онда х₀ нүктесін Х жиынының шектік нүктесі деп атайды. Айталық y=f(x) X жиынында анықталсын және х₀ осы Х-тың шектік нүктесі болсын.

Анықтама (Гейне бойынша). Егер х₀ нүктесіне жинақты болатын Х жиынының кез келген тізбегі бойынша құрылған тізбегі санына жинақты болса, онда санын y=f(x) функциясының х₀ нүктесіндегі (немесе дағы) шегі деп атайды. Оны былай жазады:

немесе

Анықтама. (Коши бойынша). Егер сәйкес саны табылып шартты қанағаттандыратын х-тің барлық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, онда санын y=f(x) функциясының х₀ нүктесіндегі шегі деп атайды.

Егер санына сәйкес саны табылып, шарттарын қанағаттандыратын үшін теңсіздігі орындалса, онда функциясы х₀ нүктесінде Коши шартын қанағаттандырады дейді.

Теорема (Коши белгісі). y=f(x)функциясының х₀ нүктесінде тиянақты шегі бар болуы үшін y=f(x) функциясының х₀ нүктесінде Коши шартын қанағаттандыруы қажетті және жеткілікті.

Бірінші тамаша шек

Салдарлар: 1. 2.

3.

Екінші тамаша шек .

Айталық y=f(x) және z=F(y)функциялары берілсін, онда z=F(f(x)) күрделі функция (супперпозиция) болады. Теорема. Егер шектер бар болса және үшін болса, онда х₀ нүктесінде күрделі функциясының шегі бар және

= .

4.Үзіліссіз функциялар.

Аңықтама. y=f(x) функциясы:

a) x₀ нүктенің белгілі бір маңайында аңықталса.

b )

Онда y=f(x) функциясы x₀ нүктеде үзіліссіз деп аталады. Мысал.y = x² функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз, өйткені бұл функция біріншіден осы нүктенің аймағында аңықталған, екіншіден  , y(0) = 0, яғни 

Аңықтама.

y=f(x) функциясы B сандар жиынының (натурал, бүтін, рационал және иррационал сандар жиыны)кез келген нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл y=f(x) функциясы B сандар жиынында үзіліссіз деп аталады.

Теорема. Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болса, f(x) ол кесіндіде шектелген болады.

Теорема. Егер f(x) функциясы [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болса, ол функция сол кесіндіде кем дегенде бір рет өзінің ең үлкен мәнін, бір рет ең кіші мәнін қабылдайды.Мысал. Берілген x₁ және х₂ нүктелеріндегі y= _f(x) функциясының үзіліссіздігін анықтау керек. Егерде олардың ішінде үзілістінүктелер болса, онда оның тегін анықтап, функцияның графигін салу керек.

1)y=3x/x+2; x₁=3,x₂=-2; Шешуі: 1)y=3x/x+2; x₁=3,x₂=-2; Берілген функцияны аргументтің х₁, х₂ мәндерінде жеке-жеке қарастырамыз. х₁=3 нүктесінде функция анықталынған y(3)=3*3/3+2=9/5 және элементарлық функция болғандықтан үзіліссіз.x₂=-2 нүктесінде бөлшектің бөлімі нольге айналатын болғандықтан, функция анықталмаған, сондықтан бұл нүктеде функция үзілісті. Функцияның x₂=-2 нүктесінде оң жақты, сол жақты шектерін есептейміз.

,

.

Демек, х₂= -2 нүктесі 2-ші текті үзілісті нүкте.