23.Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.

Бірінші текті қисық сызықты интеграл.Үзіліссіз функциясының бөлікті – тегіс L қисығы бойынша бірінші ретті қисық сызықты интегралы деп мына шекті айтады: (1)мұндағы кез келген тәсілмен қисықты бөлгендегі бөлікшенің (доғаның) ұзындығы, бөлікшенің кез – келген нүктесі, dl доғаның дифференциалы. Анықтамадан тікелей

(2) теңдіктері шығады. Бірінші текті қисық сызықты интегралды есептеу анықталған интегралды есептеуге келтіріледі. Егер қисық параметрлік түрде берілсе және функциялар осы аралықта үзіліссіз болса, онда

(3) . Егер қисық теңдеуімен берілсе және функциялар осы аралықта үзіліссіз болса, онда (4). Егер қисық және туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда мына формула орынды: (5)

Кеңістіктегі тегіс қисық параметрлік теңдеулермен берілсе, әрі функциялары кесіндісінде үзіліссіз болса, онда мына формула орынды: (6)

(1) теңдік жуықтап есептеулерде, ал (2) доғаның ұзындығын есептеуде қолданылады. Бірінші текті қисық сызықты интегралдар үшін анықталған интегралдың негізгі қасиеттері орындалады.

Екінші текті жалпы түрдегі қисық сызықты интеграл. есептеу. Бағытталған қисық бойынша екінші текті интегралдар , немесе жалпы түрінде белгіленеді. Олар анықталған интегралдарға келтіру жолымен есептеледі. Мұнда қисықтың бағыты өзгерсе, интегралдың мәні қарама-қарсы таңбға өзгереді, яғни

және функциялары - қисықта үзіліссіз функциялар.Егер қисық және туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда

Егер қисық және туынды кесіндіде үзіліссіз болса, онда

Егер қисық параметрлік теңдеулермен берілсе және туындылар осы аралықта үзіліссіз болса, онда

Кеңістіктегі тегіс қисық параметр лік теңдеулермен берілсе онда мына формула орындалады. Мұндағы функциялары қисықта үзіліссіз функциялар. Екінші текті қисық сызықты интеграл үшін анықталған интегралдың негізгі қасиеттері орынды.

24)Бірінші және екінші текті беттік интегралдар.

Бет ауданы бойынша беттік интегралдар (1 текті беттік интеграл)

_{үзіліссіз функциясы болсын және формуласымен берілген} σ _{беті берілсін. Бет ауданы бойынша беттік интеграл деп}

- бетінің к-ші элементінің ауданы нүктесі осы элементке тиісті функциясы σ бетінің әрбір нүктесінде анықталады.Егер бет _{теңдеуімен берілсе онда 1ретті беттік интеграл формуласымен есептеледі.Мысал} интегралын есептеу керек мұндағы жазықтығының 1 октанттағы бөлігі.Шешуі Жазық теңдеуін түрлендірейік z=1-x-1-y. Бұдан

σ бетінің Oxy жазықтығында проекциясы x+y=1 x=0 y=0 түзулерімен шектелген D үшбұрышы болады.(5.1 cурет) Осы ұшбұрышта х 0 ден 1-ге дейн өзгереді

Екінші текті беттік интеграл.

теңдеуімен анықталатын жылтыр екі жақты S-бетін қарастырайық оның Oxy жазықтығындағы проекциясы облысы жылтыр контурларымен жіктелсін және S-бетінің нүктелерінде R(x,y,z) функциясы анықталсын.S-бетін жылтыр сызықтарымен аудандары болатын n-ұсақ бөлшектерге бөлеміз және әрбір бөліктерден қалауымызша нүктесін алып, сол нүктедегі R(x,y,z) функциясының мәні есептейміз және көбейтіндісін құрамыз, мұндағы Осындай көбейтінділердің қосындысы n-ші интегралдық қосынды деп аталады. арқылы S-бетін ұсақ бөліктер болу қадамын белгілейік, мұндағы ұсақ беттерінің диаметірі.

Анықтама. болғанда n-ші интегралдың қосындысының ақырлы шегін функциясыннан S-бетінің оң (сыртқы) жағы бойынша алынған екінші шекті беттік интегралы деп атайды да арқылы белгіленеді, яғни .Осылайша, S-бетін Oyz немесе Oxz координаталар жазақтықтарына проекцияласақ, онда y,z және x.z координаталары арқылы S-бетінде анықталған P(x,y,z) және Q(x,y,z) функцияларынан алынған екінші текті беттік интегралдар сәйкес төменгі формулалармен анықталады: және

Осы S-бетінде анықталған беттік интегралдың қосындысын жалпы түрдегі екінші текті беттік интеграл деп атайды, оның түрі:

M

z

ысал. І-ширекте орналасқан жазықтығын жазықтығымен қиғанда пайда болған бетінің сырты жағы бойыша беттік интегралын есептеңіз(1-сурет).

х

1-сурет

Шешімі. Беттік интегралдың анықтамасы бойынша әрбір интеграл астындағы қосындыларды жеке-жеке есептейміз. бетінің координаталар жазықтықтарындағы проекцияларына сәйкес , түзуі, Демек,

,

Сондықтан, .