9.Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары.

Айталық Х және У нақты сандардан тұратын жиындар болсын.

1-Анықтама. Егер белгілі бір ереже (заң) бойынша Х жиынын құрастыратын әрбір нақты х санына у жиынын құрастыратын сандардың біреуі бірғана у сәйкес келсе, онда Х жиынында бір мәнді y=f(x) функциясы берілген дейді.Мұнда Х жиынын функцияның анықталу немесе берілу облысы, ал У жиынын функцияның мәндерінің облысы, х-ті тәуелсіз айнымалы немесе аргументі дейді.

Үздіксіз f(x) функциясы берілсін. Белгісіз функцияның туындысы -қа тең болсын,- яғни

(1) теңдікті қанағаттандыратын F(x) функцияны функцияның алғашқы функциясы деп атайды.

Теорема . Егер F(x) функциясы , функцияның алғашқы функциясы болса, онда F(х)+C да (С- тұрақты сан ) алғашқы функция болып табылады, және керісінше, әрбір алғашқы функция F(х)+C түрде сипатталанады.

Туындының қасиеттері арқылы табамыз:

Айталық Ф(х) мына функция үшін кезкелген алғашқы функция болсын, онда

Сондықтан

Осы F(х)+C (С-тұрақты сан) өрнекті функцияның анықталмаған интегралы деп атайды және оны былай белгілейді

Мұндағы f(x)- интеграл астындағы функция, - интеграл астындағы өрнек. Алғашқы функцияны табу амалы f(x) функциясын интегралдау деп аталады. Ендеше, интегралдау амалының дұрыс орындалғандығын тексеру үшін алғашқы функцияны дифференциалдап, интеграл астындағы функцияны алсақ болғаны.

Интегралдаудың негізгі ережелері:

1 Егер болса, онда , мұндағы

2 , демек тұрақты шаманы интеграл сыртына шығаруға болады.

3

4 Егер және болса, онда болады. Демек анықталмаған интеграл пішіні интегралдау айнымалысынан тәуелсіз. Мысалы , , өйткені . Екінші мысал: бұл функцияның анықталмаған интегралы .Тексеру : .

10.Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.

Анықталған интеграл түсінігі.

Анықтама. анықталған интегралы деп [a, b] аралығында f(x) функциясының алғашқы образының өсімшесін айтамыз:

Сонымен қатар, кез келген f(x) функциясы үшін интегралы бар болады (а – кез келген).

Орта мән туралы теорема1.   y= f(x) функциясы   [a,b] кесіндісінде үзіліссіз болсын, онда бұл кесіндіден  теңдігі орындалатындай  c нүктесі табылады.

Бұл   f(c) мәні функцияның    [a,b] аралығындағы орта мәні деп аталады.

Мысал: F(x)= [0,100]

│¹⁰⁰₀ =20/3

Орта мән туралы теорема2

_Th: _{[a,b] аралығында монотонды}

Д /уі g(x) [a,b] өспейтін болсын

( G(x)-g(b) ф-сы [a,b] де теріс емес өспейтін және [a,b] да интегралданады.

Оған 2ши Лемманы қолдансақ

11.Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.

1. Бірінші жəне екінші текті меншіксіз интегралдар

I. а) f функциясы [a,+∞) аралығында берілсін;

б) f - кез келген ақырлы [a b ′] , кесіндісінде мұндағы , b ′ ∈ ( a +∞) интегралданатын болсын. Eгер болса, онда ол шек f(x) функциясының [a, ∞] аралығындағы (бірінші текті) меншіксіз интегралы деп аталады да келесі түрде белгіленеді

(1)

II. а) f шекті [a ,b) аралығында берілген жəне b- нүктесінің маңайында шектелмеген функция;

б) f кез келген [a, b ′] кесіндісінде (a < b ′ < b интегралданатын функция болсын. Егер (2) шегі болса, онда ол шек f функциясының [ a,b] кесіндісіндегі (екінші текті)

меншіксіз интегралы деп атайды да оны

деп жазылады. (1) жəне (2) интегралдарды жинақты деп атайды.

Егер f функциясы үшін І немесе ІІ шарттың тек бірі ғана орындалса, онда

деп жазылады да (1) және (2) интегралдары жинақты деп атайды.f(x) функциясы ақырсыз аралығында анықталған және кез келген ақырлы кесіндісінде интегралданатын функция дейік. Егер шегі бар болса, онда ол шек аралығында f(x) функциясының меншіксіз интегралы деп аталады.да арқылы белгіленеді. Егер шек ақырлы болса, онда меншіксіз интеграл жинақталады дейді. Егер де бұл шек ақырсыз болса, немесе тіпті болмаса, онда интеграл жинақталмайтын меншіксіз интеграл деп аталады. Дәл осы сияқты жарты интервалда және интервалда меншіксіз интегралды анықтауға болады, яғни . Айталық F(x) берілген f(x) функциясының алғашқы функциясы болсын. Онда Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша интегралдардың есептеу формулаларын келтіруге болады: ,

Мысалдар:1) меншіксіз интегралын жинақтылыққа зертелік.

Шешуі. Бірінші текті меншіксіз интегралды есептеудің (1) формуласы бойынша : Берілген меншіксіз интеграл –жинақты.