25)Грин формуласы.Остроградски формуласы.Стокс формуласы.

D облысында Р(х,у) сандық функциялары берілсін, онда Dжиынында анықталған сәйкестігі дифференциалдық форма деп аталады. D -Жордан бойынша өлшенетін облыс және оның шекарасы тұйық жай қисығы болсын.

жиынында анықталған дифференциалдық форманың қисығы бойынша алынған қисық сызықты интегралы D облысы бойынша алынған

f(х,у)= функциясының екі еселі интегралына тең, болатынын көрсететін мына формула:

(1)Грин формуласы деп аталады.

Шекара бойымен жылжығанда D жиыны сол жақта қалатын бағытты оң, ал оған қарама-қарсы бағытты теріс бағыт деп атаймыз да, сәйкес = + және = - символдарымен белгілейміз.

Сонымен (1) формуладағы бағытты көрсету арқылы былай (2)

анықтап, сол жәйт расында да орындалатынын дәлелдеуге болады.

Мысал: интегралын Грин формуласының жәрдемінен есептейік.

Бұл жерде + шеңбері және болғандықтан (2) формула бойынша Полярлық координаталарға көшсек, x +y +=r болады да, ондағы r шамасы 0-ден R-ге дейін, ал шамасы 0-ден 2 -ге дейін өзгереді. Демек, ізделінді интеграл былай есептелінеді:

Егер (2) формуладағы Р және Q функциялары өрнегі бірге тең болатындай етіп алынса, онда қос интеграл D фигурасының S ауданын өрнектейді және біз сол өрнекті фигураның шекарасы бойында алынған қисық сызықты интегралы арқылы табамыз. Ауданды өрнектейтін формуланың ең жиі қолданылатын түрі болғанда ғана табылады

(3)

Егер функциялары S бетінде өздерінің бірінші ретті дербес туындылырымен бірге үзіліссіз және S- бетін шектеітін контур C -тұйық болса, онда Стокс Формуласы орындалады:

Мұндағы бетіне жүргізілген нормаль векторының бағытталған косинустары. Нормаль Векторы бойынша S-бетінің оң немесе сол жақтарын анықтаймыз, яғни нормаль векторының оң бағыты S- бетіннің сыртқы жағына сәйкес және ол нормаль жағынан қарағанда C-контуроның бойымен айналу бағыты сағат тіліне қарама-қарсы бағытта болатындай етіп аланады.Сторкс формуласымен екінші текті беттік интерал арқылы

түрінде жазуға болады. Егер функциялары кеңістіктің S-жылтыр тұық бетімен шектелген T-тұйық облысында өздерінің бірінші ретті дербес туындылармен бірге үзіліссіз болса, онда Гаусс-Остроградский фомуласы орындалады. мұндағы S-бетінің сыртқы жағына жүргізілген нормаль С векторының бақыттаушы косинустары, ал теңдіктерімен ds-бет элементінің сәйкес координаталар жазақтарына түсірілген проекциялар анықталады. Демек, Гаусс-Остроградский формуласы (екінші текті беттік интеграл бойынша) түрінде жазылады және ол үш еселі интегралмен беттік интеграл арасындағы байланысты орнатады.