16.Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар.

Анықтама. , n өрнегі ақырсыз сандық қатар деп аталады. Ал сандары қатардың мүшелері, мұндағы - қатардың жалпы мүшесі деп аталады.

Анықтама. Мына қосындыларды жазып алайық: Бұл қосындылар қатардың дербес қосындылары деп аталады.

Анықтама. Егер қатардың n да S деребес қосыныдысының ақырлы шегі S бар болса, онда қатар жинақталатын қатар деп аталып, былай жазылады . S саны қатардың қосындысы деп аталады. lim болса,қатар жинақты; lim , онда қатар жинақсыз.

Енді мүшелері комплекс сандар болатын

u +u +…= u (1) қатарын және оның мүшелерінің абсолют шамаларынан құралған

| u |+|u |+…= |u | (2) қатарын қарастырайық. Егер (2) қатар жинақты болса, онда (1)қатар абсолют жинақты қатар деп аталады. Егер (1) қатар жинақты , ал (2) қатар жинақсыз болса, онда (1) қатар шартты жинақты қатар деп аталады.

17.Функционалдық тізбектер және қатарлар.

Мүшелері нақты х айнымалысының функциясы

Болатын қатарын функционалдық қатар дейді. функциялары анықталған және қатары жинақты болатын х айнымалының мәндер жиыны функционалдық қатардың жинақталу облысы делінеді. Функционалдық қатардың жинақталу облысы Ох осінің қандай да бір аралығы болады. Алғашқы n мүшелерінің қосындысы болса,

онда . Мұндағы берілген қатардың мүшелерінің қалдығы деп аталады.

18.Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.

Егер D облысында (2.3) қатардың барлық мүшелері шартты қанағаттандырса, мұндағы -тұрақты оң сандар, сонымен бірге (2.6) сандық қатар жинақты болса, берілген (2.3) қатар D облысында бір қалыпты (әрі абсолют) жинақты болады. Дәлелдеу.

қатары D облысының әрбір z нүктесінде жинақты, өйткені оның мүшелері жинақты (2.6) қатардың сәйкес мүшелерінен артық емес. Демек, берілген (2.3) қатар D облысының әрбір z нүктесінде абсолют жинақты болады. (2.3) қатардың қосындысы мен бірінші n мүшелерінің қосындысының сәйкес S(z) пен (z) белгілеп, мынаны аламыз: (2.7)

Шарт бойынша (2.4) қатар жинақты болатындықтан, оның қалдық мүшесі

қандай болмасын (ε>0) үшін жеткілікті үлкен n N = N=N(ε)-нан бастап ε-нан кем болады. Сөйтіп, (2.7) теңдіктен D облысындағы z нүктесіне тәуелсіз мынаны аламыз:

n <=N = N=N(ε) болғанда < ε.

Бұл (2.3) қатардың D облысында бірқалыпты жинақталатындығын дәлелдейді.

19.Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау.

түрінде берілген функциялық қатар дәрежелік қатар деп аталады. Егер болса, онда бұл қатар мына түрге көшеді. .

Егер (11.6) дәрежелік қатар болғанда жинақталатын қатар, ал болғанда жинақталмайтын қатар болса, онда саны дәрежелік қатардың жинақталу радиусы немесе жинақталу облысы деп аталады.

Жинақталу радиусын анықтау үшін келесі формулаларды қолданады және .Мысал. дәрежелік қатардың жинақталу радиусы анықтау керек . Шешімі : Мұнда , сондықтан . Жинақталу интервалы .

Мысал. функциялық қатардың жинақталу радиусы табу керек.

Шешімі. Мұнда , онда . Жинақталу интервалы . Жинақты интервалында дәрежелік қатарды кез келген рет мүшелеп дифференциалдауға және интегралдауға болады.

Дәрежелік x функциясының,мұндағы n– еркін алынған 1–ден артық натурал сан,туындысын есептеуге арналған формула мынадай: (x )'=nx (1.6) Бұл ережелер дәлелдеулермен беріледі.Осы ережелерді қолдану арқылы функциялардың туындылары табылады. Дәрежелік қатардың қосындысыныңтуындысын дәрежелік қатарды мүшелеп дифференциалдау арқылы алуға

болады, яғни

,

,

,

,

Мүшелеп интегралдау әдіс: Мүшелеп интегралдау формуласы деп келесі теңдікті айтамыз.

(1)

Мүшелеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл арқылы өрнектейді. Бұл формула екінші интегралды есептеу мүмкіндігі болған жағдайда қолданылады. Кей жағдайда соңғы нәтижені алу үшін бөліктеп интегралдау әдісін қайталап қолдануға тура келеді.

1) - түрдегі интеграл

Егер, -п-дәрежелі көпмүшелік болып, келесі , k=Const, функциялардың бірі болса, онда деп алып, бөліктеп интегралданады. Бұл жағдайда мүшелеп интегралдау п рет қайталанады.

2) -түріндегі интеграл

Егер -п дәрежелі көпмүшелік, ал -келесі функциялардың бірі болса , онда . Деп алып, бөліктеп интегралданады.

3) түріндегі интегралдар, мұндағы , a,b- тұрақты сандар.

Бұл интегралдар айналымды интеграл деп аталады және екі рет бөліктеп интегралдау арқылы алғашқы интегралы бар теңдеуге келеміз. Интеграл осы теңдеуді шешу арқылы есептеледі.

Мысал1 интегралын есептеу керек.Шешуі деп аламыз. Сонда .(1)-формуласы бойынша, (2)

Соңғы интегралға да мүшелеп интегарлдау әдісін пайдаланып

теңдігіне келеміз. Интегралдың осы мәнін (2) теңдігіне қойып, берілген интегалды табамыз:

Соңында,