1.2. Экономико-математические модели управления запасами

Формирование товарно-материальных запасов позволяет предприятию обеспечивать устойчивость ассортимента товаров, осуществлять определенную ценовую политику, повышать уровень обслуживания покупателей. Все это требует поддержания на каждом предприятии оптимального уровня запасов по каждой товарной позиции.

Управление материальными запасами представляет собой совокупность мероприятий по обеспечению рационального (а в идеале — оптимального) их уровня в производственно-коммерческих системах, контроль за состоянием запасов и принятие решений, нацеленных на экономию времени и средств за счёт минимизации затрат по содержанию запасов, необходимых для своевременного выполнения программ производства или сбыта.

Эффективное управление запасами позволяет организации удовлетворять или превышать ожидания потребителей, создавая такие запасы каждого товара, которые максимизируют чистую прибыль.⁹

В теории управления запасами существуют три основных способа регулирования уровня запаса:¹⁰

1. Изменение размера заказа (партии поставки);

2. Изменение периода заказа (интервала поставок);

3. Одновременное изменение размера заказа и интервала между поставками.

В зависимости от использования одного из этих подходов в теории запасов выделяют три принципиальные системы регулирования:

1. Периодический метод или систему с фиксированным периодом заказа (поставки);

2. Релаксационный метод или систему с фиксированным размером заказа;

3. Двухуровневую систему (система «минимум-максимум»).

Рассмотрим первый и второй метод.

1. Периодический метод (система регулирования с фиксированной периодичностью заказа)

Основными базовыми условиями данной системы регулированию будут: равенство периодов заказа и интервалов между поставками T₁= T₂ = … = T_n = const и постоянный интервал отставания поставки t = const.

Сущность данного метода заключается уже в его названии – система с фиксированной периодичностью заказа (fixed order interval system) или система контроля запасов с периодической проверкой (periodic review). В рамках этой системы регулирования через равные промежутки времени в момент (точка заказа) производится контроль уровня запаса и формируется заказ очередной партии поставки в размере:

, (1.1)

где вероятный уровень запаса в момент поступления очередной i-й партии поставки; фактический уровень запаса в точке заказа (в момент заказа); средняя интенсивность потребления (расхода) запаса в единицу времени за планируемый период; интервал отставания поставки.

Рис.2 Изменение уровня запаса при периодическом методе регулирования

Исходными данными для расчета параметров системы являются:

1. Потребность в заказываемом продукте, шт.,

2. Интервал времени между заказами, дни,

3. Время поставки, дни,

4. Возможная задержка поставки, дни.

Расчетными параметрами системы являются, гарантийный запас шт.; максимальный желательный запас, шт.; размер заказа, шт. Расчет параметров системы управления запасами с фиксированным интервалом времени между заказами представлен в приложении 3 (табл. A).¹¹

Средняя величина общего запаса за период при данном методе регулирования будет:

, (1.2)

где n – число циклов поставок за планово-отчетный период.

Достоинством периодического метода регулирования запасов является его относительная простота организации – регулирование и контроль за уровнем запаса осуществляется лишь один раз в интервале между поставками.

Основной недостаток этого метода – он может быть использован только в случае более или менее равномерного потребления запаса или . Периодическая система обладает большой инерционностью, т.к. ее реакция на изменение условий запаздывает, как минимум на интервал поставки T.¹²

2. Релаксационный метод (система регулирования запасов с фиксированным размером заказа)

Система регулирования запасов с фиксированным размером заказа (fixed order quantity system) имеет ряд различных модификаций. Основными условиями данной системы регулирования будут: равенство размеров заказа … = = const и постоянный интервал отставания поставки = const.

Сущность релаксационного метода заключается в постоянном (ежедневном) контроле за уровнем запаса и его краткосрочном прогнозировании.

Точка заказа (момент заказа) при данном способе регулирования будет «плавающей», т.к. в общем случае … , а размер заказа – фиксированным.

Рис.3 Изменение уровня запаса при релаксационном методе регулирования

Исходными данными для расчета параметров системы являются:

1. Объем потребности в заказываемом продукте, шт.;

2. Оптимальный размер заказа, шт.;¹³

3. Время поставки, дни;

4. Возможная отсрочка поставки, дни.

Расчетными параметрами системы являются: гарантийный запас, шт.; пороговый уровень запаса, шт.; максимальный желательный запас, шт.

Расчет параметров системы управления запасами с фиксированным размером заказа представлен в приложении 3 (табл. B).¹⁴

Средняя величина запаса за планово-отчетный период при использовании способа с фиксированным размером заказа будет:

, (1.3)

Достоинством релаксационного метода является фиксированный размер заказа (партии поставки), что уже само по себе снижает часть логистических издержек. Кроме того, при данной системе возникает возможность заказа оптимальных размеров партий запасаемого материального ресурса. Данный метод является более адаптивным, т.к. оперативно реагирует на изменения внешней среды и внутренние параметры логистической системы. Однако при релаксационном методе требуется систематический непрерывный контроль за уровнем запасов, что увеличивает издержки управления. В современных условиях этот недостаток несколько смягчается применением компьютерных технологий, но это также требует затрат на эксплуатацию соответствующей информационной системы.

Основное различие между представленными моделями заключается в следующем. В модели с фиксированным объёмом заказа производится очередной заказ на поставку, когда запас материала снижается до определённого уровня. Это событие может произойти в любой момент, в зависимости от скорости потребления материала. Что же касается модели с фиксированным периодом поставок, то в ней размещение очередного заказа осуществляется через заранее установленный (контрольный) период времени.

Использование модели с фиксированным объёмом заказа предполагает постоянный контроль за остатком запаса. Таким образом, Q – модель представляет собой непрерывно действующую систему, которая требует, чтобы каждый раз, когда проводится изъятие материалов из запаса или их добавление в запас, обновлялись соответствующие записи и проверялось, достигнута ли точка очередного заказа. В P – модели вычисление остатка запаса проводится периодически только в заранее установленный момент времени для контроля уровня запаса. ¹⁵

Основные различия между Q – и P – моделями и действие каждой из рассматриваемых систем приведены в приложении 4.

Формирование и содержание запасов требует значительных затрат. (Классификация затрат, связанных с управлением запасами, представлена в приложении 5). Принципиальные системы регулирования не учитывают соответствующих затрат и поэтому могут рассматриваться лишь как одна из составных частей методов управления запасами. Для организации систем необходимо задать нормативные параметры, которые могут быть определены путем математического моделирования логистических процессов.

Теоретической базой получения обоснованных решений по управлению материальными запасами служат методы экономико-математического моделирования. В основе этих методов лежит математическая формализация экономических процессов, т. е. построение экономико-математической модели и ее последующая реализация (решение).

Экономико-математическая модель представляет собой выражение в математической форме количественных зависимостей какого-либо реального экономического процесса.

Разработке экономико-математической модели должен предшествовать качественный и количественный анализ исследуемого экономического процесса: изучение его сущности, закономерностей развития и взаимосвязей с другими процессами и явлениями. Важным моментом моделирования является определение цели, которую необходимо достигнуть, и ее математическая интерпретация. Целевая функция выражается посредством принятого критерия (измерителя) степени эффективности полученного решения задачи.¹⁶

Разнообразие реальных условий реализации логистических процес­сов в производственно-коммерческих структурах, наличие внутренних и особенно внешних возмущений создают множество возможных вари­антов решения задач управления запасами. В настоящее время теория запасов предлагает для практического использования разнообразные экономико-математические модели, что требует их классификации. Система классификации моделей управления запасами приведена в приложении 6 табл. A.

Рассмотрим следующие модели управления запасами:

1. Модели оптимального размера заказа (модели Уилсона, классическая модель, однопродуктовая статическая, модель экономичного размера заказа, EOQ – модель, Q - модель):

- основная – определения оптимального размера заказа

- с постепенным пополнением

- с учетом потерь от дефицита

- оптимального размера заказа при наличии оптовых скидок.

2. Однопериодная модель (простая стохастическая модель, «задача продавца газет»)¹⁷

Рассмотрим некоторые из этих моделей

1. Основная модель определения экономичного размера заказа (классическая модель)

Основная модель имеет несколько основных условий и предпосылок. Прежде всего, необходимо отметить, что она разработана для теоретического цикла управления запасом.

Характеристиками теоретического цикла управления запасами являются следующие допущения:

1. Все расчеты относятся к одному виду товара;

2. Постоянный темп потребления (отгрузки);

3. Постоянное время исполнения заказа;

4. Постоянная продолжительность цикла возобновления заказа;

5. Каждый заказ поступает единой поставкой.

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется тремя свойствами:

• постоянным во времени спросом;

• мгновенным пополнением запаса;

• отсутствием дефицита;

Интенсивность спроса и продолжительность заготовительного периода не изменяются.

Оптимизация размера заказа (партии поставки) означает, что необходимо найти такое его количественное значение, которое потребует минимальных затрат на формирование и содержание текущего запаса при заданных условиях. Для выведения формулы расчета оптимального размера заказа необходимо построить функцию общих издержек, связанных с размером заказа.

В данном случае нам важны общие затраты на создание запасов, которые можно выразить уравнением:

Затем для разработки модели управления запасами необходимо определить ту величину заказа Q_опт, при которой суммарные затраты минимальны. Для нахождения точки минимальных затрат возьмем производную от суммарных годовых затрат по Q и приравняем её к нулю.

В результате дифференцирования функции общих издержек по переменной размера заказа поучаем формулу, получившую название основной модели оптимизации размера заказа:

, (1.3)

где A – стоимость выдачи одного заказа, руб.;

I – затраты на содержание единицы запасов, руб./шт.;

Q – оптимальный размер заказа, шт.;

S – потребность в товарно-материальных запасах за определенный период, шт.

2. Модель оптимального размера заказа с постепенным пополнением запаса

Если темп поставки и потребления одинаковые, то запасов не требуется, и проблемы определения размера заказа не существует. Однако, как правило, темп поставки превышает темп потребления. Кроме того, возможны ситуации, когда отгрузка всего заказа проводится не одновременно, а, например, в течение нескольких рабочих смен. В таких случаях можно использовать иную формулу расчета оптимального размера заказа:

, (1.4)

где D – поставка товарно-материальных ценностей за определенный период, шт.

3. Модель оптимального размера заказа, допускающая дефицит (модель планирования дефицита)

В рассмотренной выше простейшей модели дефицит продукции не допускается. В общем случае, когда потери от дефицита сопоставимы с расходами по содержанию запасов, дефицит допустим.¹⁸

График движения запаса для такой ситуации приведен на рисунке 3,

Модель оптимального размера заказа в данном случае будет иметь вид

(1.5)

где

I – стоимость содержания единицы запаса в единицу времени (как правило, в сутки)

g – потери из-за дефицита единицы запаса в единицу времени («штраф»)

Формула для определения оптимального значения начального (максимального) запаса

(1.6)

Для заданных условий максимальный размер планируемого дефицита составит:

(1.7)

Рис.4 Движение текущего запаса в условиях, допускающих дефицит материального ресурса

2. Однопериодная модель (простая стохастическая модель, «задача продавца газет»)

В теории запасов в условиях, когда издержками по содержанию запасам можно пренебречь, а учитывать нужно только затраты по приобретению товара и потери из-за неудовлетворительного спроса, эта хозяйственная ситуация известна как «задача продавца газет», в которой требуется найти оптимальный объем разового заказа (закупки) для удовлетворения спроса.

В классической постановке эта задача формулируется следующим образом. Газетчик в начале каждого дня покупает n-e количество газет по a пенсов и продает их по v пенсов (a < v), следовательно, его доход от продажи одной газеты составляет c= (v –a). Стоимость газет, которые он не смог продать в течение дня, падает до нуля, т.е. прямые потери от каждой непроданной газеты составляют a пенсов. Если газетчик закупит газет меньше, чем он смог бы продать, то на каждом экземпляре он теряет c пенсов, а если больше – то a пенсов. Требуется найти такое n, которое максимизировало бы его ежедневный доход.

Одной из модификаций этой хозяйственной ситуации является «задача булочника». Отличием в ней является то, что на следующий день запасы товара (т.е. хлебобулочные изделия) не обесцениваются до нуля, а продаются со значительной скидкой по цене w, причем w < a.

В общем случае методика реализации такой задачи связана с поиском оптимума функции общих затрат, которую можно представить в следующем виде:

, (1.8)

Где f(b) – функция плотности распределения вероятностей спроса (расхода товарно-материальных ресурсов); (Q-b) – излишек товаров; (b-Q) – дефицит товаров; c – цена единицы товара; g – удельные потери из-за неудовлетворительного спроса (упущенная выгода).

После проведения ряда преобразований мы можем определить оптимальный размер заказа (партии поставки) по условию:

(1.9)

Для решения данной задачи в управлении товарными запасами конкретной логистической системой необходимо по эмпирическим данным рассчитать значения функции F(b) для различных значений b (с учетом правила трех сигм, т.е. ) и выбрать самое близкое к оптимальному, которое определяется условием (1.9).¹⁹