1.4. Изменение произведения и частного

1. Если один из сомножителей увеличить или уменьшить во сколько-нибудь раз, то произведение соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Для каких угодно натуральных чисел a, b и с, если abc = Р, то

(an) bс = a (bn) с — ab(cn) = Рп,

(а : п) bс = а (b : п) с = ab (с : n) = Р : п.

Действительно, на основании сочетательного и переместительного законов умножения

(an) bc = (abc) n = Рп;

a (bn) с =(abc) n = Рп;

ab (сп) = (abc) п = Рп[11,87].

Из этих равенств следует, что при умножении одного из сомножителей на n мы вместо одного первоначального произведения Р получаем n таких произведений.

Таким же образом на основании сочетательного и переместительного свойств ряда умножений и делений имеем:

(а : n) bc = (abc) : n = Р : n;

а (b :n) с = (abc) : n = Р : n;

ab (с : n) = (abc) : n = Р : n.

Отсюда следует, что при делении одного из сомножителей на n мы вместо первоначального произведения Р всякий раз получаем лишь одну из n равных частей этого произведения[11,87].

Пример. 40-2-6 = 480.

(40∙4)∙2∙6 = 40∙(2∙4)∙6 = 40∙2∙(6∙4) = 1 920, но 1920=480∙4.

(40 : 2)∙2∙6 = 40∙(2 : 2)∙6 = 40∙2∙(6 : 2) = 240, но 240 =480: 2.

2. Если один из сомножителей произведения умножить на какое- нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится[11,88].

Для каких угодно натуральных чисел а и b, если ab = Р, то

(an) (b : n) = Р.

Действительно, на основании предыдущего свойства

(an) b = Pn и

(an) (b : n) = (Рn) : n, но (Рn) : n = Р (следствие из определения деления).

Пример. 25 ∙12 = 300.

(25 ∙ 2) (12 : 2) = 50 ∙ 6 = 300.

Примечание. На этом свойстве основан способ устного умножения чисел на 5. Этот способ состоит в том, что данное число делят на 2, а затем полученное частное умножают на 10.

Например: 42 ∙ 5 = (42 : 2) ∙ 10 = 210.

3. Если два или несколько сомножителей данного произведения умножить или разделить на какие-либо числа, то данное произведение соответственно умножится или разделится на произведение этих чисел[11,88].

Если произведение abc = Р, то:

1) (am) (bn) с = (abc) (mn) = Р (mn) и

2) (а: m) (b : n) с = Р : (mn).

Действительно, на основании сочетательного и переместительного свойств умножения и ряда умножений и делений имеем:

(am) (bn) с = (abc) (mn) = Р (mn) и

(а : m) (b : n) с = abc : m : n = (abc) : (m ∙ n) = Р : (mn).

Пример. 20 ∙ 4 = 80.

(20 ∙ 3) ∙ (4 ∙ 2) = 60 ∙ 8 = 480, но 480 = 80 ∙ 3 ∙ 2.

(20 : 5) ∙ (4 : 2) = 4 ∙ 2 = 8, но 8 = 80 : (5 ∙ 2).

Устные вычисления.

1.Округление множимого:

298 ∙ 4 = (300 — 2) ∙ 4 = 300 ∙ 4 — 2 ∙ 4 = 1 200 — 8 = 1 192.

2 . Округление множителя:

а) 25 ∙ 3996 = 25 ∙ (4000 – 4) = 25 ∙ 4000 – 25 ∙ 4 = 100 000 — 100 = 99 900.

б) 24 ∙ 11 = 24 ∙ (10 + 1) = 24 ∙ 10 + 24 ∙ 1 = 240 + 24 = 264.

в) 345 ∙ 9 = 345 ∙ (10—1) = 3 450 — 345 = 3 105.

Задача. Билет в зоoсад стоил 15 коп. Когда входную плату уменьшили, количество посетителей увеличилось в 6 раз, а сбор увеличился в 2 раза. На сколько снижена входная плата?

Решение. Сбор денег за вход в зоосад — это произведение 15 коп. на число посетителей. Второй сомножитель увеличился в 6 раз, произведение увеличилось в 2 раза; следовательно, первый сомножитель уменьшился в 6:2=3 раза; 15 коп. : 3 = 5 коп.; 15 коп. — 5 коп. = 10 коп.

Ответ: входная плата снижена на 10 коп [11,89].

1. Если делимое увеличить или уменьшить во сколько-нибудь раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз[11,89].

Известно, что делимое равно произведению делителя на частное. Но произведение увеличивается или уменьшается в несколько раз только тогда, когда увеличивается или уменьшается во столько же раз по крайней мере один из сомножителей. Поэтому, если делитель (один из двух сомножителей) не изменяется, то увеличение или уменьшение делимого в несколько раз возможно только при условии увеличения или уменьшения во столько же раз частного (второго из двух сомножителей)[11,89].

Отсюда следует, что если делитель не изменяется, то увеличение или уменьшение делимого во сколько-нибудь раз повлечет соответственно увеличение или уменьшение частного во столько же раз.

Если: а : b = q, то

1) (an) : b = q ∙ n и 2) (a : n) : b — q ∙ n, где а ∙ n.

Действительно, так как а : b — q, то а = b ∙ q. Умножив а и произведение b ∙ q на одно и то же число n, мы по закону монотонности умножения получим: an =(bq) n, но на основании сочетательного закона умножения an = bqn[11,89].

Отсюда по определению деления (an) : b = qn.

Аналогично можно показать, что (а : n) : b = q : n.

Пример. 96 : 8= 12.

(96 ∙ 2) : 8 = 192 : 8 = 24 — частное увеличилось в 2 раза.

(96 : 3) : 8 = 32 : 8 = 4 — частное уменьшилось в 3 раза.

2. Если делитель увеличить или уменьшить во сколько-нибудь раз, то частное изменится в противоположном смысле во столько же раз[11,90].

В самом деле, если делимое, т. е. произведение делителя на частное, остается без изменения, а делитель (один из сомножителей) увеличивается или уменьшается во сколько-нибудь раз, то частное (другой сомножитель) должно, наоборот, уменьшиться или увеличиться во столько же раз[11,90].

Если а : b = q, то

а : (bn) = q : п и а : (b : п) = qn.

Действительно, на основании сочетательного свойства ряда умножений и делений имеем: а : (bn) = а : b : п = (а : b) : п.

Отсюда:

а : (bn) = q : п,

так как а : b = q.

Справедливость равенства а : (b : п) = qn можно установить

на тех же основаниях.

Пример: 96 : 8 = 12.

96 : (8 ∙ 4) = 96 : 32 = 3 — частное уменьшилось в 4 раза.

96 : (8 : 4) = 96 : 2 = 48 — частное увеличилось в 4 раза.

3. Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, а остаток, если он был, соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз[11,90].

а) Случай деления без остатка.

Это свойство в случае деления без остатка является следствием двух рассмотренных выше свойств частного.

В самом деле, от увеличения или уменьшения делимого в п раз частное соответственно увеличится или уменьшится также в n раз. От увеличения же или уменьшения делителя в п раз частное изменится в противоположном смысле во столько же раз. Следовательно, согласно следствию из определения деления при увеличении или уменьшении в п раз и делимого и делителя частное не изменится[11,90].

Таким образом, если а : b = q, то

1) (an) : (bn) = q и

2) (а:п): (b : n) = q.

Пример. 96 : 8 = 12.

1) (96 ∙ 3) : (8 ∙ 3) = 288 : 24 = 12.

2) (96 : 2) : (8 : 2) = 48 : 4 = 12.

б) Случай деления с остатком. В случае деления с остатком делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток.

Поэтому, если а : b — q (остаток r), то а = b ∙ q + r.

При умножении числа а и равной ему суммы bq + r на одно и то же число п, согласно закону монотонности уложения, должны получиться равные произведения:

а ∙ п = (b ∙ q + r) ∙ п[11,91].

На основании распределительного, переместительного сочетательного законов умножения:

а∙n = (b ∙ q + r) ∙ п= (b ∙ q) ∙n + r п = ( b∙n) +q+ rn

Из равенства an = bn ∙ q + rn следует:

(an) : (bn) = q (остаток rn).

Путем аналогичных рассуждений можно убедиться в том, что:

(а : п) : (b : п) = q (остаток r : n).

Пример. 48:9 = 5 (остаток 3).

(48 ∙ 2) : (9 ∙ 2) = 96 : 18 = 5 (остаток 6).

(48 : 3) : (9 : 3) = 16 : 3 = 5 (остаток 1) [11,91].

Примечание. Рассмотренным свойством пользуются при делении чисел, оканчивающихся нулями: если для упрощения вычисления в делимом и в делителе было зачеркнуто одно и то же число нулей, т к остатку надо приписать это же число нулей.

Например: 45 |00| : 13|00| = 3 (остаток 6 ∙ 100 = 600).

Устные вычисления.

1. Уменьшение множимого в несколько раз увеличение множителя во столько же раз:

а) 488 ∙ 5 = (488 : 2)∙(5 ∙ 2) = 244 ∙ 10 = 2 440.

б) 424 ∙ 25 = (424 : 4) ∙ (25 ∙ 4) = 106 ∙ 100 =10 600.

в) 96 ∙ 125 = (96 : 8) ∙ (125 ∙ 8) = 12 ∙ 1 000=12 000.

2. Увеличение делимого и делителя в одно и то же число раз:

а) 8 740 : 5 = (8 740 ∙ 2) : (5 ∙ 2) = 17 480 : 10= 1 748.

б) 14 200 : 25 = (14 200 ∙ 4) : (25 ∙ 4) = 56 800: 100 = 568.

в) 35 000 : 125 = (35 000 ∙ 8) : (125 ∙ 8) = 280 000 : 1 000 = 280[11,91].

Задача. Два земельных участка одинаковой площади засеяны: один хлопком, другой рисом. На следующий год под хлопок заняли втрое больший участок, а под рис вдвое меньший. Во сколько раз участок под хлопком стал больше участка, засеянного рисом?

Решение. Отношение площадей первого и второго земельных участков было равно единице. Число гектаров под хлопком (делимое) и число гектаров под рисом (делитель) одинаковы. На следующий год число гектаров под хлопком увеличивается в 3 раза, а число гектаров под рисом уменьшается в 2 раза. От увеличения делимого в 3 раза частное увеличивается в 3 раза и от уменьшения делителя в 2 раза частное увеличивается в 2 раза. Следовательно, частное увеличилось в 3 х 2 = 6 (раз).

Ответ: на следующий год участок под хлопком стал в 6 раз больше участка под рисом[11,91].