Число степеней свободы
Понятие
числа степеней свободы непосредственно
связано с несмещенностью оценок некоторой
суммы квадратов. Пусть имеется
случайных переменных
и существует
линейных связей между ними. Тогда
говорят, что сумма квадратов
имеет
степеней свободы. То же самое можно
сформулировать и следующим образом.
Пусть среди случайных переменных
имеется ровно
попарно независимых, а
линейно связаны, то есть существует
линейных зависимостей, связывающих
.
Тогда говорят, что сумма квадратов
имеет
степеней свободы.
Так, например, в ПФЭ и ДФЭ при исследовании адекватности ММ используют оценку дисперсии единичного наблюдения
.
Здесь
слагаемых, связанных
линейными связями (
вычислений для средних значений
),
соответственно
.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Работа с матрицами в Mathcade
При работе с матрицами в Mathcade необходимо учитывать некоторые особенности этого математического пакета.
Если
размер матрицы данных не превышает
,
то в этом случае необходимо создать в
Мathcade
матрицу нужного размера и просто
скопировать в нее данные из Excel.
Если
размер матрицы не превышает
,
то необходимо создать в Mathcadе
матрицу, например, размера
,
скопировать в одну из ячеек данные, а
затем вырезать матрицу исходных данных
и поместить ее на свободное место.
Например:
Если размер матрицы данных превышает , то можно воспользоваться функциями:
– augment (A, B) – соединение двух матриц слева направо, или
– stack (A, B) – соединение двух матриц сверху вниз.
То есть необходимо разделить матрицу исходных данных на две подматрицы, а затем соединить их:
ОКОНЧАНИЕ ПРИЛ. 3
Другой способ – поместить матрицу данных в отдельный файл, например, lab.xls и воспользоваться функцией Вставка\Компонент\File Read or Write.
Замечание. В качестве разделителя дробной и целой части необходимо использовать точку.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица G-распределения
G
– случайная величина, распределенная
по закону Кохрена с числом степеней
свободы
для числителя и
для знаменателя. Таблица содержит
значения
,
полученные из условия
(верхняя строка при всех
)
и
(нижняя строка при тех же
).
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
|
0,998 0,999 |
0,975 0,995 |
0,94 0,99 |
0,91 0,98 |
0,86 0,96 |
0,85 0,94 |
0,83 0,92 |
0,82 0,90 |
0,79 0,88 |
3 |
0,966 0,991 |
0,87 0,94 |
0,80 0,88 |
0,75 0,83 |
0,71 0,79 |
0,68 0,76 |
0,65 0,71 |
0,63 0,69 |
0,60 0,67 |
4 |
0,91 0,97 |
0,77 0,86 |
0,68 0,78 |
0,63 0,72 |
0,59 0,68 |
0,56 0,64 |
0,54 0,61 |
0,52 0,58 |
0,49 0,55 |
5 |
0,84 0,93 |
0,68 0,79 |
0,60 0,70 |
0,54 0,63 |
0,51 0,59 |
0,48 0,55 |
0,46 0,52 |
0,44 0,50 |
0,41 0,47 |
6 |
0,78 0,88 |
0,62 0,72 |
0,53 0,63 |
0,48 0,56 |
0,45 0,52 |
0,42 0,49 |
0,40 0,46 |
0,38 0,44 |
0,36 0,40 |
7 |
0,73 0,84 |
0,56 0,66 |
0,48 0,57 |
0,43 0,51 |
0,39 0,47 |
0,37 0,44 |
0,36 0,46 |
0,34 0,39 |
0,32 0,36 |
8 |
0,68 0,79 |
0,52 0,62 |
0,44 0,52 |
0,39 0,46 |
0,36 0,35 |
0,34 0,39 |
0,32 0,37 |
0,30 0,35 |
0,28 0,33 |
9 |
0,64 0,75 |
0,48 0,57 |
0,40 0,40 |
0,36 0,43 |
0,33 0,39 |
0,31 0,36 |
0,29 0,34 |
0,28 0,32 |
0,26 0,30 |
10 |
0,60 0,72 |
0,45 0,54 |
0,37 0,45 |
0,33 0,39 |
0,30 0,36 |
0,28 0,33 |
0,27 0,31 |
0,25 0,30 |
0,24 0,27 |
12 |
0,54 0,65 |
0,39 0,48 |
0,33 0,39 |
0,29 0,34 |
0,26 0,31 |
0,24 0,29 |
0,23 0,27 |
0,22 0,25 |
0,21 0,23 |
15 |
0,47 0,57 |
0,33 0,41 |
0,28 0,33 |
0,24 0,29 |
0,22 0,26 |
0,20 0,24 |
0,19 0,22 |
0,18 0,21 |
0,17 0,19 |
20 |
0,39 0,48 |
0,27 0,33 |
0,22 0,27 |
0,19 0,23 |
0,17 0,20 |
0,16 0,19 |
0,15 0,17 |
0,14 0,16 |
0,13 0,15 |
24 |
0,34 0,42 |
0,24 0,29 |
10,19 30,23 |
0,17 0,20 |
0,15 0,18 |
0,14 0,16 |
0,13 0,15 |
0,116 0,142 |
0,11 0,13 |
30 |
0,29 0,36 |
0,20 0,24 |
20,16 50,19 |
0,14 0,16 |
0,12 0,15 |
0,11 0,13 |
0,106 0,123 |
0,100 0,116 |
0,09 0,10 |
40 |
0,24 0,29 |
0,16 0,19 |
10,13 20,15 |
0,11 0,13 |
0,10 0,11 |
0,089 0,103 |
0,083 0,095 |
0,078 0,090 |
0,07 0,08 |
60 |
0,17 0,22 |
0,11 0,14 |
0,09 70,11 |
0,08 0,09 |
0,068 0,080 |
0,062 0,072 |
0,058 0,067 |
0,055 0,063 |
0,05 0,05 |
120 |
0,10 0,12 |
0,06 0,08 |
70,05 0,06 |
0,042 0,049 |
0,037 0,043 |
0,034 0,039 |
0,030 0,036 |
0,029 0,033 |
0,02 0,03 |
1
2Примечание. Допускается линейная интерполяция по аргументу с погрешностью, не превышающей 0,01.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Таблица t-распределения
– случайная
величина, распределенная по закону
Стьюдента с числом степеней свободы
.
Таблица содержит значения
,
полученные из условия
.
|
|
0,95 |
0,90 |
0,80 |
0,50 |
0,20 |
|
63,657 |
12,706 |
6,314 |
3,078 |
0,727 |
0,325 |
2 |
9,935 |
4,303 |
2,920 |
1,886 |
0,617 |
0,289 |
3 |
5,841 |
3,182 |
2,353 |
1,638 |
0,584 |
0,277 |
4 |
4,604 |
2,776 |
2,132 |
1,533 |
0,569 |
0,271 |
5 |
4,032 |
2,571 |
2,015 |
1,476 |
0,559 |
0,267 |
6 |
3,707 |
2,447 |
1,943 |
1,440 |
0,553 |
0,265 |
7 |
3,499 |
2,365 |
1,895 |
1,415 |
0,549 |
0,263 |
8 |
3,355 |
2,306 |
1,860 |
1,397 |
0,546 |
0,262 |
9 |
3,250 |
2,262 |
1,833 |
1,383 |
0,543 |
0,261 |
10 |
3,169 |
2,228 |
1,812 |
1,372 |
0,542 |
0,260 |
11 |
3,106 |
2,201 |
1,796 |
1,363 |
0,540 |
0,260 |
12 |
3,055 |
2,119 |
1,782 |
1,356 |
0,539 |
0,259 |
13 |
3,012 |
2,160 |
1,771 |
1,350 |
0,538 |
0,259 |
14 |
2,977 |
2,145 |
1,761 |
1,345 |
0,537 |
0,258 |
15 |
2,947 |
2,131 |
1,753 |
1,341 |
0,536 |
0,258 |
16 |
2,921 |
2,120 |
1,746 |
1,337 |
0,535 |
0,258 |
18 |
2,878 |
2,101 |
1,734 |
1,330 |
0,534 |
0,257 |
20 |
2,845 |
2,086 |
1,725 |
1,325 |
0,533 |
0,257 |
21 |
2,807 |
2,069 |
1,714 |
1,319 |
0,532 |
0,256 |
25 |
2,787 |
2,060 |
1,708 |
1,316 |
0,531 |
0,256 |
30 |
2,750 |
2,042 |
1,697 |
1,310 |
0,530 |
0,256 |
40 |
2,704 |
2,021 |
1,684 |
1,303 |
0,529 |
0,255 |
60 |
2,660 |
2,000 |
1,671 |
1,296 |
0,527 |
0,254 |
100 |
2,617 |
1,980 |
1,658 |
1,289 |
0,526 |
0,254 |
120 |
2,576 |
1,960 |
1,645 |
1,282 |
0,524 |
0,253 |
0,99
1Примечание. Допускается интерполяция только по аргументу , погрешность линейной интерполяции не превышает 0,007.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Таблица F-распределения
– случайная
величина, распределенная по закону
Фишера с числом степеней свободы
для числителя
и
для знаменателя. Таблица содержит
значения
,
полученные из условия
(верхняя строка при всех
)
и
(нижняя строка при тех же
).
|
|
3 |
4 |
6 |
9 |
12 |
24 |
|
=1 |
199,5 4999 |
215,7 5403 |
224,0 5625 |
234,0 5859 |
241,0 6022 |
244,9 6106 |
249,0 6235 |
254,3 6366 |
2 |
19,00 99,00 |
19,16 99,17 |
19,25 99,25 |
19,33 99,33 |
19,38 99,39 |
19,41 99,42 |
19,55 99,46 |
19,50 99,50 |
3 |
9,55 30,82 |
9,28 29,46 |
9,12 28,71 |
8,94 27,99 |
8,81 27,34 |
8,74 27,05 |
8,64 26,60 |
8,53 26,12 |
4 |
6,94 18,00 |
9,59 16,69 |
6,39 15,98 |
6,16 15,21 |
6,00 14,66 |
5,91 14,37 |
5,77 13,93 |
5,63 13,46 |
5 |
5,79 13,27 |
5,41 12,06 |
5,19 11,39 |
4,95 10,67 |
4,77 10,16 |
4,68 9,89 |
4,53 9,47 |
4,36 9,02 |
6 |
5,14 10,52 |
4,76 9,78 |
4,53 9,15 |
4,28 8,47 |
4,10 7,98 |
4,00 7,72 |
3,84 7,31 |
3,67 6,88 |
7 |
4,74 9,55 |
4,35 8,45 |
4,12 7,85 |
3,87 7,19 |
3,68 6,72 |
3,57 6,49 |
3,41 6,07 |
3,23 5,65 |
8 |
4,46 8,65 |
4,07 7,59 |
3,84 7,01 |
3,58 6,37 |
3,39 5,91 |
3,28 5,67 |
3,12 5,28 |
2,93 4,86 |
9 |
4,26 8,02 |
3,86 6,99 |
3,63 6,42 |
3,37 5,80 |
3,18 5,35 |
3,07 5,11 |
2,90 4,73 |
2,71 4,31 |
10 |
4,10 7,56 |
3,71 6,55 |
3,48 5,99 |
3,22 5,39 |
3,02 4,94 |
2,91 4,71 |
2,74 4,33 |
2,54 3,91 |
11 |
3,98 7,21 |
5,59 6,22 |
3,36 5,76 |
3,09 5,07 |
2,90 4,63 |
2,79 4,40 |
2,51 4,02 |
2,40 3,60 |
12 |
3,88 6,93 |
3,49 5,95 |
3,26 5,41 |
3,00 4,82 |
2,80 4,39 |
2,69 4,16 |
2,50 3,78 |
2,30 3,36 |
13 |
3,80 6,70 |
3,41 5,74 |
3,18 5,21 |
2,92 4,62 |
2,71 4,19 |
2,60 3,96 |
2,42 3,59 |
2,21 3,17 |
14 |
3,74 6,51 |
3,34 5,56 |
3,11 5,04 |
2,85 4,46 |
2,65 4,03 |
2,53 3,80 |
2,35 3,43 |
2,13 3,00 |
16 |
3,63 6,23 |
3,24 5,29 |
3,01 4,77 |
2,74 4,20 |
2,54 3,78 |
2,42 3,55 |
2,24 3,18 |
2,01 2,75 |
18 |
3,55 6,01 |
3,16 5,09 |
2,93 4,58 |
2,66 4,01 |
2,46 3,60 |
2,34 3,37 |
2,15 3,00 |
1,92 2,57 |
20 |
3,49 5,85 |
3,10 4,94 |
2,87 4,43 |
2,60 3,87 |
2,39 3,46 |
2,28 3,23 |
2,08 2,86 |
1,84 2,42 |
24 |
3,40 5,61 |
3,01 4,72 |
2,78 4,22 |
2,51 3,67 |
2,30 3,26 |
2,18 3,03 |
1,98 2,66 |
1,37 2,21 |
32 |
3,29 5,34 |
2,90 4,46 |
2,67 3,97 |
2,40 3,43 |
2,19 3,02 |
2,07 2,80 |
1,86 2,42 |
1,59 1,96 |
48 |
3,19 5,08 |
2,80 4,22 |
2,57 3,74 |
2,30 3,20 |
2,08 2,80 |
1,96 2,58 |
1,75 2,20 |
1,45 1,70 |
120 |
2,99 4,61 |
2,60 3,78 |
2,37 3,32 |
2,09 2,80 |
1,88 2,41 |
1,75 2,18 |
1,52 1,79 |
1,00 1,00 |
=2
Примечание. Допускается линейная интерполяция по аргументу и квадратичная по , с погрешностью 0,01.