2.3.5. Проверка адекватности полученной математической модели

Адекватность ММ (равенство дисперсий неадекватности и единичного наблюдения) проверяется по -критерию Фишера. Его расчетное значение определяется соотношением (1.5)

,

где

– оценка дисперсии неадекватности, a – оценка дисперсии единичного наблюдения, определяемая соотношением (2.5); – число значимых коэффициентов исследуемого уравнения регрессии; – оценка в -й точке факторного пространства. Критическое значение критерия Фишера находят из таблицы распределения Фишера по числу степеней свободы числителя и знаменателя и уровню значимости (прил. 6). Если , гипотеза об адекватности принимается.

Как правило, вначале проверяют линейную математическую модель. Если гипотеза подтверждается, то в качестве окончательной ММ выбирают линейную, если отклоняется – добавляют эффект взаимодействия с наибольшим коэффициентом и вновь проверяют гипотезу и так до тех пор, пока существуют степени свободы. Если же в итоге полученная модель все равно оказалась неадекватной, то это говорит о том, что тип математической модели выбран неудачно и требует уточнения. Можно попробовать использовать более сложные модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное композиционное планирование).

2.3.6. Переход к физическим переменным

Для записи ММ в реальных физических величинах производят обратный переход от нормированного масштаба к натуральному. Это можно сделать, используя соотношение (2.2). После этого записывают окончательный вид модели.

2.4. Пример расчета полного факторного эксперимента

Пусть требуется исследовать влияние производственных факторов (  – опорное напряжение ,  – ток потребления ,  – конечная температура нагрева ) на качество производства магнитных дисков. Номинальные значения факторов: В, А, .

В этом случае ПФЭ дает возможность построить полиномиальную ММ следующего вида:

.

Поставим ПФЭ при трех сериях опытов в точках:  В,  A, . Условия проведения опытов сведем в табл. 2.5. и проведем нормирование масштабов факторов.

Таблица 2.5

Условия проведения ПФЭ

Характеристика плана	, B	, А	,
Нулевой уровень	30	18	220
Интервал варьирования	2	1	20
Верхний уровень	32	19	240
Нижний уровень	28	17	200

Cоставим МП эксперимента, в соответствии с которой проведем рандомизированные опыты. Полученные результаты запишем в табл. 2.6, где  – численные значения исследуемого параметра,  – номер точки в факторном пространстве,  – номер параллельного опыта. В эту же таблицу будем записывать и другие получаемые результаты.

Проведем статистическую обработку полученных результатов. Для проверки по критерию Кохрена воспроизводимости опытов при выбранном уровне значимости вычислим в каждой точке факторного пространства (их у нас ) среднее значение

и оценки дисперсий

.

Критическое значение найдем из таблицы G-распределения (прил. 4) при , . С помощью соотношения (2.3) найдем . Поскольку считаем, что дисперсии наблюдений во всех точках факторного пространства однородны.

Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения проведем двумя способами.

1. Алгебраическим: .

2. Матричным. Для этого составим матрицу планирования эксперимента

и найдем дисперсионную матрицу

Вычислим оценки коэффициентов

Сравнивая результаты, видим, что оценки, полученные обоими способами, совпадают.

По критерию Стьюдента (соотношение (2.4)) определим статистическую значимость коэффициентов регрессии при уровне значимости , для которого при критическое значение . При этом, как видно из матрицы , оценки дисперсий всех вычисляются по формуле

,

где – оценка дисперсии единичного наблюдения, вычисленная по соотношению (2.5). В нашем случае , следовательно, . Поэтому вычисляются как . Результаты занесем в табл. 2.6. Исключим из ММ незначимые коэффициенты регрессии и . При этом благодаря ортогональности плана оценки остальных коэффициентов не изменятся.

По критерию Фишера (1.5) проверим адекватность линейной ММ при . Для этого нужны оценки дисперсий единичного наблюдения и неадекватности. Дисперсия единичного наблюдения уже найдена и равна . Найдем оценку дисперсии неадекватности

,

где .

Найдем и (используя таблицу F-распределения (прил. 6) и число степеней свободы числителя и знаменателя ). Так как , то линейная модель неадекватна. В этом случае необходимо добавить эффект взаимодействия с наибольшим по модулю коэффициентом, в нашем случае это . Теперь , . При этом , то есть модель адекватна. Делаем вывод о том, что полученная ММ с уровнем значимости не противоречит экспериментальным результатам.

Переходим к натуральному масштабу:

, , ,

где – нормированные значения, – значения в натуральном масштабе.

Таким образом, окончательно получаем ММ:

.