Смо без очереди.
В
системах с отказами заявка, поступившая
в момент, когда все каналы обслуживания
заняты, немедленно получает отказ,
покидает систему и в дальнейшем процессе
обслуживания не участвует. Имеется n каналов
обслуживания, на которые поступает
поток заявок с интенсивностью λ.
Поток обслуживаний имеет
интенсивность μ (величина,
обратная среднему времени обслуживания t
).
Вероятность простоя каналов обслуживания
.
Требование, поступающее в систему, получает отказ в том случае, когда все узлы обслуживания заняты. Вероятность отказа исчисляется по формуле
Р
=
= 
.
Относительная пропускная способность, т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, исчисляется по формуле
P
=1-P
=1-
.
Абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, составляет
A=λ Р .
Среднее число занятых каналов
Pобсл.
Доля каналов, занятых обслуживанием, составляет
q=
.
Смо с неограниченной очередью.
В СМО
с неограниченным ожиданием заявка,
нашедшая все каналы занятыми, становится
в очередь, на которую не наложено
ограничений ни по длине очереди, ни по
времени ожидания. В силу неограниченности
очереди каждая заявка рано или поздно
будет обслужена, поэтому Р
=1, Р
=0.
Для СМО с неограниченной очередью
накладывается ограничение 
<1. Если
это условие нарушено, то очередь растет
до бесконечности, наступает явление
«взрыва».
1. Вероятность простоя каналов:
Р
=
2. Вероятность занятости обслуживанием k каналов:
Pk=
, 1
.
3. Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при отсутствии очереди:
P
=
.
4. Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:
P
=
.
5. Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей наличия очереди и занятости всех n каналов при отсутствии очереди:
Pзан =Pп+Pоч =
.
6. Среднее число занятых обслуживанием каналов:
=
=ρ.
7. Доля каналов, занятых обслуживанием:
q=
.
8. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
L=
.
9. Среднее число заявок в системе:
М=L+ =L+ρ.
10. Среднее время ожидания заявки в очереди:
t=
.
11. Среднее время пребывания заявки в системе:
T=t+
, T=
.
Смо с ограниченной очередью.
В системах с ожиданием количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок. Если число заявок в очереди равно m, то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему не обслуженной.
Системы с
ограниченной очередью являются обобщением
двух рассмотренных ранее СМО: при m=0
получаем СМО с отказами, при m=
CМО
с ожиданием.
Вероятность простоя каналов обслуживания
Р0=
.
Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности Рn+m того, что в очереди уже стоят m заявок:
Ротк=Рn+m=
.
Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания
Робсл=1-Ротк.
Абсолютная пропускная способность определяется равенством
А=λ (1-Pотк)=λ Робсл.
Среднее число занятых каналов
=
=ρРобсл .
Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди
L=
.
Среднее время ожидания обслуживания в очереди
t= .
Среднее число заявок в СМО
М=L+ .
Среднее время пребывания заявки в СМО
T=t+ , T= .