47. Эмпирическая функция распределения и её график.

Эмпирическая функция распределения – функция, определяющая для каждого значения х случайной величины Х частоту события (X<x), т.е. это функция , где - кумулятивная частота (число элементов со значением признака, меньшим некоторого значения ) . Разница между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что ТФР определяет вероятность события (X<x), а ЭФР – только частоту этого события. Свойства ЭФР аналогичны ТФР:

1) .

2) .

3) .

4) - неубывающая функция.

48. Гистограммы частот (ступенчатые и секторные).

Статистический ряд часто оформляется в виде гистограммы. Для построения гистограммы на оси абсцисс откладывают значения разрядов и строят прямоугольник с высотой равной отношению частоты встречающегося разряда на длину прямоугольника (т.е. площадь прямоугольника равна частоте разряда). В случае равных по длине разрядов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице. При увеличении числа опытов можно выбирать все более и более мелкие разряды; при этом гистограмма будет все более приближаться к некоторой кривой функции распределения F(x), ограничивающей площадь, равную единице. Такая диаграмма называется ступенчатой. Секторная диаграмма изображается в виде совокупности круговых секторов, площадь которых равна частоте разряда.

49. Несмещенные и смещенные оценки параметров. Выборочное среднее, выборочная дисперсия, исправленная дисперсия.

Статистика – некоторая функция от выборки . Точечная оценка неизвестного параметра – число . Несмещенная оценка – такая оценка , для которой и смещенной в противном случае. Величина называется смещением.

Выборочное среднее – величина , выборочное взвешенное среднее – величина .

Выборочная дисперсия – величина , исправленная выборочная дисперсия – величина .

50. Метод моментов. Логарифмическая функция правдоподобия.

Функция правдоподобия – функция .

Функции и достигают максимума при одном значении Q, поэтому на практике часто находят именно максимум функции (её называют логарифмической функцией правдоподобия).

Для нахождения точечных оценок неизвестных параметров часто используют метод моментов: приравнивание теоретических моментов эмпирическим моментам того же порядка. Если распределение определяется n параметрами, то необходимо приравнять n теоретических и эмпирических моментов одного порядка.

51. Функции максимального и минимального правдоподобия.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, для которой в результате n опытов был сформирован закон распределения (при этом, неизвестен параметр Q распределения и требуется найти его точечную оценку ). Обозначим - вероятность, что случайная величина Х примет значение . Тогда функция правдоподобия величины Х – функция .

52. Доверительная вероятность и интервал, уровень значимости.

Интервальная оценка – оценка, определяемая двумя числами (концы интервала), который покрывает оцениваемый параметр. В ряде задач требуется не только найти значение параметра , но и определить его точность и надежность (к каким ошибкам может привести замена параметра его точечной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за раки некоторого предела). Эта задача особо актуальна при малом числе опытов (оценка в этом случае в значительной мере случайна).

Пусть для параметра имеется несмещенная оценка . Выберем достаточно большую вероятность и найдем такое , что . В этом случае при замене на ошибка будет возникать в достаточно малом числе случаев ( ). Иными словами, - вероятность попадания неизвестного значения параметра в интервал . Вероятность принято называть доверительной вероятностью, интервал - вероятностным интервалом, границы интервала – доверительными границами.

В статистике величина считается статистически значимой, если мала вероятность её случайного возникновения. Уровень значимости теста – вероятность отклонить гипотезу даже в том случае, если она была неверна.