53. Статистические законы распределения случайных величин: «хи-квадрат», Стьюдента, Фишера, квантиль.
Квантиль порядка р (0<p<1)
непрерывной случайной величины Х с
возрастающей на R
функцией F(x)
– число
,
для которого
,
т.е. квантиль – это значение, которое
случайная величина не превышает с
фиксированной вероятностью.
Распределение
с r степенями
свободы – распределение
суммы квадратов r
случайных величин, каждая из которых
подчиняется стандартному нормальному
закону. Плотность этого распределения
равна
.
Для независимых нормальных величин
(имеют нормальное распределение)
верно, что величина
имеет распределение
.
Распределение Стьюдента
с n
степенями свободы –
распределение величины
,
где величины
- независимые стандартные нормальные
величины. Плотность этого распределения
равна
.
Распределение Фишера со
степенями свободы
-
распределение случайной величины
,
где величины
- независимые стандартные нормальные
величины.
54. Статистические гипотезы, их примеры. Идея проверки статистической гипотезы. Ошибки первого и второго рода.
Статистическая гипотеза
– предположение о распределении
вероятносей, которое необходимо проверить
по имеющимся данным. Нулевая
гипотеза
- выдвинутая гипотеза,
конкурирующая
(альтернативная) гипотезе
- гипотеза, которая
противостоит нулевой.
Простая гипотеза –
гипотеза, состоящая только из 1
предположения, сложная
гипотеза – гипотеза,
состоящая из конечного/бесконечного
числа простых гипотез.
При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки 2 видов:
1) Ошибка первого рода (отвергнута правильная нулевая гипотеза). Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и её обычно обозначают через .
2) Ошибка второго рода (принята неправильная гипотеза). Вероятность этой ошибки . Число называют мощностью критерия.
Основной принцип проверки статистической нулевой гипотезы: Если наблюдаемое значение принадлежит критической области (совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается), то нулевую гипотезу отвергают, в противном случае гипотезу принимают.
55. Интервальные оценки параметров: математического ожидания, известной и неизвестной дисперсии, дисперсии при известном и неизвестном мат. Ожидании.
Интервальная оценка с
надежностью
математического ожидания m
нормально распределенного признака Х
по выборочной средней
при известном среднеквадратичном
отклонении
генеральной совокупности
– оценка
,
где t – значение
функции Лапласа, при котором
.
При неизвестном мат. ожидании вместо
среднеквадратичного отклонения следует
использовать исправленное выборочное
среднеквадратичное отклонение.
57. Мощность критерия. Критические точки.
Критические точки – точки, определяющие критическую область принятия гипотезы. Бывают 3 видов (ля всех трех видов приведены критерии поиска критических точек при заданном уровне значимости ):
1) Правосторонние:
.
.
2) Левосторонние:
.
.
3) Двусторонний:
.
.
Мощность критерия - вероятность того, что не будет совершена ошибка второго рода (вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза).