35. Плотность распределения системы двух случайных величин. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения.

Пусть существует непрерывная двумерная случайная величина . Пусть существует и функция распределения , причем она непрерывна и дважды дифференцируема. Тогда существует функция , называемая плотностью распределения системы двух случайных величин. Так же, как и в случае системы одной величины, плотность распределения и функция распределения связаны соотношением . Для независимых и непрерывных случайных величин , .

Свойства плотности распределения функции двух случайных величин:

1) .

2) .

Вероятность попадания случайной точки в область определяется по формуле .

Выше уже было записано выражение нахождения закона распределения отдельной случайной величины. Подобная формула существует и для плотности распределения. В случае двумерной случайной величины формула принимает вид .

Условным законом распределения величины X, входящей в систему (X,Y), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение y. Условный закон распределения может быть задан при помощи условной плотности распределения:

36. Зависимые и независимые случайные величины. Система произвольного числа случайных величин. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.

При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на характер зависимости. Иногда зависимость может быть настолько тесной, что из значения одной случайной величины можно получить значение другой.

Случайная величина независима (зависима) от случайной величины ,если закон распределения не зависит (зависит) от значения . В случае непрерывности случайных величин , условие зависимости можно записать в виде . Если случайная величина не зависит от случайной величины , то верно и обратное ( не зависит от ).

Система произвольного числа случайных величин уже описана в вопросе 34.

Система n случайных величин может быть полностью охарактеризована при помощи следующего набора величин:

1) n мат. ожиданий .

2) корреляционных моментов . В случае i=j корреляционный момент превращается в дисперсию . Все корреляционные моменты часто записывают в квадратную матрицу, причем т.к. , то мы получаем симметричную относительно главной диагонали матрицу .

Корреляционный момент 2 независимых величин равен нулю.

37. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Ковариация. Коэффициент корреляции. Их свойства. Дисперсия суммы двух случайных величин.

По аналогии с моментами функции одной случайной величины для функции двух случайных величин можно выделить:

Начальный момент порядка k, s системы двух случайных величин - математическое ожидание произведения величины на величину , т.е. . Первые начальные моменты (k=1,s=0;k=0,s=1) представляют собой соответствующие мат. ожидания. Совокупность мат. ожиданий для системы двух случайных величин характеризует среднюю точку, вокруг которой происходит рассеивание случайной величины.

Центральный момент порядка k, s системы двух случайных величин - математическое ожидание произведения k-й и s-й степеней центрированных величин , т.е. . Два из центральных моментов (k=2,s=0;k=0,s=2) представляют собой соответствующие дисперсии. Совокупность дисперсии для системы двух случайных величин характеризует рассеивание случайной величины вдоль соответствующих осей.

Кроме начальных и центральных моментов, выделяют и мат. ожидание произведения центрированных случайных величин – корреляционный момент (ковариация) . Корреляционный момент системы двух случайных величин показывает связь между случайными величинами и степень их рассеивания. Для характеристики меры линейной зависимости двух величин используют коэффициент корреляции .

Свойства корреляционного момента:

1) Если - независимые случайные величины, то .

2) .

3) .

4) .

Свойства коэффициента корреляции:

1) .

2) Если величины и независимы, то .

Дисперсия суммы 2 случайных величин и равна .

38. Математическое ожидание функции случайных величин. Дисперсия функций случайных величин. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин. Примеры.Математической ожидание функции от непрерывной случайной величины - величина , где -плотность распределения. Дисперсия же ищется по формуле .

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: ,

Числовые теоремы, относящиеся к мат. ожиданию:

1) .

2) .

3) .

4) Если есть линейная функция n случайных аргументов: , то её мат. ожидание равно .

5) .

Числовые теоремы, относящиеся к дисперсии:

1) .

2)

3)

4) Как уже отмечено выше, .

5) Если есть линейная функция n случайных аргументов: , то её дисперсия равна .

6) .

Кроме того, существуют формулы для легкого нахождения третьего и четвертого центральных моментов суммы n случайных величин: и соответственно.