22. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. Плотность вероятности и её свойства.

В случае дискретной случайной величины, вероятность попадания случайной величины на участок от (включая) до равна . В случае же непрерывной случайной величины (т.к. вероятность любого отдельного случая для данной случайной величины равна нулю), т.е. .

Пусть X – непрерывная случайная величина с непрерывной и дифференцируемой функцией распределения . Тогда . Предел называется дифференциальным законом распределения. Он характеризует плотность вероятности (плотность с которой распределены значения случайной величины в данной точке). Выражение называется элементом вероятности (вероятность попадания случайной величины Х в элементарный отрезок dx, примыкающий к точке х).

Закон распределения может задаваться как при помощи функции распределения, так и при помощи плотности вероятности: , однако, плотность распределения существует только для непрерывных величин.

Функция распределения вероятности случайной величины Х может быть найдена как .

Основные свойства плотности вероятности:

1) .

2) .

23. Примеры дискретных и непрерывных законов распределения случайных величин.

Дискретными случайными величинами является биноминальное распределение числа успехов при n независимых испытаниях, распределение Пуассона с параметром .

24. Числовые характеристики случайных величин, прерывных и дискретных. Их роль и назначение.

Закон распределения случайной величины дает исчерпывающую информацию о случайной величине. Однако иногда можно охарактеризовать достаточно ярко случайную величину с помощью всего одного или нескольких чисел. Например, иногда нам не надо знать поведение функции распределения для достаточно больших значений, достаточно знать среднее значение функции на каком-то отрезке или возможные отклонения от среднего значения. Эти числа позволяют нам не рассматривать закон распределения, но работать только с этими числами.

25. Математическое ожидание, его свойства и аналогии.

Математическое ожидание M[X] случайной величины Х – её среднее значение. Ищется по формуле для дискретной величины Х. Если , то мат.ожидание определяется бесконечной суммой только в том случае, если ряд сходится. В случае же непрерывной случайной величины мат.ожидание находится как .

Свойства мат. ожидания:

1. .

2. .

3. Если А, В – независимые случайные величины, то .

Математическое ожидание под другими именами (точка центра тяжести, среднее арифметическое) встречается в и других науках.

26. Математическое ожидание для схемы Бернулли и теоремы Пуассона.

Математическое ожидание схемы Бернулли (биномиального распределения) равно .

Математическое ожидание распределения Пуассона равно .

27. Математическое ожидание равномерного, показательного и нормального законов распределения.

Ответ дан в вопросе 31.

30. Дисперсия и её свойства. Среднеквадратичное отклонение и эксцесс.

Дисперсия D случайной величины Х- математическое ожидание квадрата разности самой величины и её мат. ожидания, т.е. . Дисперсия характеризует разброс случайной величины (мера отклонения от значения мат. ожидания). Дисперсия находится по формулам в том случае, если Х – дискретная величина, и по формулам , если X - непрерывная случайная величина.

Свойства дисперсии:

1) Для любой Х .

2)

3)

4) Для любых двух независимых величин A,B .

Дисперсия имеет размерность , что бывает неудобно при расчетах. Поэтому, часто вместо дисперсии используют среднеквадратичное отклонение .

Начальный момент порядка k случайной величины Х – математическое ожидание величины , в частности .

Центральный момент порядка k случайной величины Х – математическое ожидание величины , в частности .

Эксцессом называется мера остроты пика распределения. Эксцесс находится по формуле .