Тема 5. Корреляционный анализ

Термин корреляция употребляется в науке с конца XYIII века. Его ввел французский палеонтолог Жорж Кювье, основавший "закон корреляции", согласно которому череп с рогами обязательно принадлежал травоядному животному, обладавшему копытными конечностями; если же лапа имела когти, то животное было хищным, без рогов, но с крупными клыками.

Об этом "законе" сохранился рассказ о неудачной шутке студентов, пытавшихся во время университетского карнавала напугать Кювье. Ряженный в шкуре и маске с рогами крикнул профессору: "Я тебя съем!" На что получил спокойный ответ, что рогатых хищников не бывает, а за незнание закона корреляции можно получить плохую оценку. Корреляционная связь между признаками может возникать разными путями. Причинная зависимость предполагает, что один из пары рассматриваемых признаков выступает как фактор, второй как результат. Например, качество почвы может рассматриваться фактором урожайности сельскохозяйственных культур. Существует корреляционная связь и между двумя след ствиями одной причины. Пример такой связи приводил круп- нейший российский статистик начала XX в. А.А.Чупров. Рассматривались два признака ­ количество пожарных команд в городе и размер ущерба, причиненного городу от пожаров. Выходило, что, чем больше в городе пожарных, тем больше убытков от пожаров. Встал вопрос ­ не сократить ли пожарные команды? В данном случае мы имеем дело не с причиной и следстви­ ем, а с двумя следствиями общей причины ­­ размером города. Логично, что в крупных городах больше штат пожарных, т.к. ча­­ ще возникают пожары и ущерб огнем причиняется значительный. Сложнее дело обстоит тогда, когда каждый из признаков является одновременно и причиной, и следствием. Здесь мы стал­­ киваемся со взаимосвязью, взаимозависимостью между призна­­­­­­ ками. Например, размер оплаты труда зависит от его произво­­­­­­ дительности, но, в то же время, выступает в качестве стимула, а значит, фактора повышения уровня производительности труда. Как и любая классификация, это деление носит достаточно условный характер, однако сделанные здесь замечания необходимо учитывать при интерпретации результатов корреляционного анализа. Прежде, чем приступать непосредственно к корреляционному анализу, надо проверить правомерность его применения, надо про­­­­­­ верить, будут ли его результаты реально отражать историческую картину. Признаки, исследуемые методом корреляции, должны быть нормально распределены и линейно зависимы между собой. Признак обладает свойством нормальности, если его значения симметрично распределяются от "центра", которым считается его средняя арифметическая величина. Проще всего проверить нормальность распределения графическим методом. График нормально распределенного признака имеет колоколооб­ разный вид с центром, совпадающим со значением средней ариф­ метической (см.Рис.6.1). 

 От характера исходных данных, от особенностей источника и задач исследования зависит выбор формулы коэффициента корреляции. Чаще всего при изучении массовых источников применяют коэффициент линейной корреляции (r). Он вычисляется по формуле:  Пример 6.1. Применение коэффициента линейной корреляции (r) рас­ смотрим по данным о возрасте и количестве детей двадцати пяти учителей. Необходимо определить тесноту связи между возрастом (х) и количеством детей (у) в выделенной группе учителей. Сразу заметим, что возраст выступает в факторный признак, а количество детей этом распределении как результативный 

   Все коэффициенты корреляции изменяются в пределах от О до Ѓ}1. Чем ближе значение коэффициента к 0, тем меньше, слабее связь между признаками и чем ближе величина коэффи­ циента к +.1, тем сильнее, значительнее, весомее связь между признаками. Если коэффициент корреляции принимает положи­ тельные значения ­ связь между признаками прямая, т.е. с уве­ личением значения одного признака ­ растет среднее значение второго. Если коэффициент корреляции имеет значение меньше О (т.е. отрицательное) ­ связь обратная. При r больше или равным Ѓ}0,5 можно констатировать нали­ чие существенной связи между признаками. Оценка значимости r во многом зависит от объема исследуемой совокупности. Если число наблюдений велико, то даже небольшая величина коэффи­ циента линейной корреляции имеет определенную значимость, которой не следует пренебрегать. Это проверяется специальны­ ми статистическими таблицами, раскрывающими зависимость величины г от объема изучаемой совокупности. В нашем примере ­ связь между признаками очень тесная и прямая, т.е. количество детей в семье в значительной мере зави­ сит от возраста родителей и чем старше опрашиваемый, тем больше у него детей. Применение коэффициента линейной корреляции имеет ряд ограничений. Во­первых, он исчисляется только для количествен­ ных признаков. Во­вторых, признаки, связь между которыми вы­ 83 является, должны быть нормально распределены. В­третьих, связь, сила которой должна быть измерена, должна быть линей­ ной. До вычисления коэффициента следует проверить имею­ щиеся данные на соответствие, предъявляемым условиям. Напомним, что нормальность и линейность проверяются графическим методом. Приведенная формула определения величины r применяется только для первичных, несгруппированных данных. При анализе исторических событий исследователи работают преимущественно с качественными признаками, разновидностью которых выступают альтернативные (здесь: принимающие толь­ ко два значения). Для изучения силы их связи применяются коэффициент ассоциации (Q) и коэффициент сопряженности (Ф) или коэффициент контингенции (Kk). Их вычисление пред­ варяется тем, что имеющиеся данные сводятся в таблицу четы­ рех полей: 

Таким образом, в распоряжении исследователя имются два

признака ­ грамотность и место жительства. В данном распре­

делении они приняли альтернативный характер, хотя в случае

необходимости могут дробиться и принимать больше значений.

Определить уровень связи между признаками.

Подставим имеющиеся данные в формулы:

Интерпретация полученных значений коэффициентов анало­

гична толкованию значений коэффициента линейной корреляции.

Однако надо сделать несколько замечаний.

1. Оценивать связь между признаками как тесную, суще­

ственную можно при значении Ф не ниже Ѓ}0,3. (Некоторые ис­

следователи считают, что коэффициент Ф дает более­менее точ­

ную характеристику при значениях, превышающих Ѓ}0,5.) Зна­

чение всегда несколько больше значения Ф.

2. Коэффициент ассоциации отражает одностороннюю

связь между признаками, т.е. показывает степень влияния толь­

ко одного признака на другой. Коэффициент сопряженности (Ф)

раскрывает силу взаимосвязи между признаками при их обоюд­

ном влиянии друг на друга.

3. Величина коэффициента сопряженности в определенной

мере зависит от абсолютных значений признаков в таблице рас­

пределения. В связи с этим надо быть особенно осторожным при

сравнении значений Ф, рассчитанных по разным исходным дан­

ным. Изменение его величины может в большей степени объяс­

няться разницей абсолютных частот признаков, чем разницей си­

лы их взаимодействия. По возможности следует по одним и тем

же данным вычислять оба коэффициента, особенно при необхо­

димости их сопоставления.

Значения коэффициентов, полученных по данным нашего

примера (см. Пример 6.2) говорят о том, что в условиях НЭП для

населения региона Среднего Поволжья выбор места жительства

в очень малой степени зависел от такого показателя, как гра­

мотность. Что же касается взаимодействия этих характеристик,

то оно почти отсутствует. Возможно это связано с общей низкой

грамотностью населения, его культурной отсталостью.

Когда достаточно получить ориентировочное представление

о тесноте связи между признаками можно обойтись без гро­

моздких вычислений, обратившись к коэффициенту совпаде­

ния знаков. Метод, предложенный немецким психиатром

Г.Т.Фехнером (1801­1887 гг.), основан на сравнении значений

признаков с их средними величинами. Если значение признака

больше его средней ­ оно фиксируется знаком "+", если меньше ­

знаком "_". Затем ведут подсчет по формуле:

Определить уровень влияния затрат труда на валовой до­

ход в сельском хозяйстве.

В нашем примере (см. Пример 6.3) из 10 случаев знаки от­

клонения значений признака от их средних величин совпали в 9

случаях и лишь в одном ­ не совпали (см. в таблице

хозяйство N3).

Пример 6.3:

Дано распределение факторов валового дохода в сельском

хозяйстве.

Коэффициент Фехнера измеряется и интерпретируется так

же, как и коэффициент линейной корреляции. Полученное зна­

чение 0,8 говорит о тесной прямой связи между рассматри­

ваемыми признаками: чем больше затраты труда, тем выше

средний валовой доход на хозяйство.

Не всякий качественный признак можно превратить в аль­

тернативный или заменить количественным. Достичь цель выяв­

ления и измерения влияния качественных признаков помогает

коэффициент ранговой корреляции.

Система ранжирования получила широкое распространение

в исторических исследованиях. Суть ее состоит в предваритель­

ной экспертной оценке вариантов качественного признака и при­

своении им количественного эквивалента, исходя из степени их

интенсивности. Ранжировать изучаемые признаки обязательно в

одном и том же порядке: либо по восходящей, либо по нисходя­

щей линии. Ранжированию подвергаются как количественные,

так и качественные признаки. Коэффициент корреляции рангов

может быть вычислен и для изучения взаимосвязи между каче­

ственным и количественным признаками. Ранги чаще всего обо­

значаются порядковыми числительными ­ 1, 2, 3 ... Меру взаимо­

связи между парой признаков, каждый из которых ранжирует

изучаемую совокупность объектов, показывает коэффициент

ранговой корреляции.

Одну из формул коэффициентов корреляции рангов пред­

ложил английский психолог Ч.Спирмен (1863­1945 гг.).

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена измеряется и

интерпретируется так же, как и другие корреляционные коэф­

фициенты. При совпадении ранжированных рядов по обоим рас­

сматриваемым признакам коэффициент примет значение 1, что

говорит о максимально тесной прямой связи. Если объекты в од­

ном ранжированном ряду прямо противоположны рангам второго

признака, то на лицо максимально тесная обратная связь. В обо­

их этих случаях вычисления коэффициента не требуется, до­

статочно проанализировать взаимное расположение рангов.

Пример 6.4:

Дано распределение семейного состояния населения по

среднедушевому доходу.

Определить тесноту связи между рассматриваемыми приз­

наками.

В приведенной таблице графы 3 и 4 показывают ранги рас­

сматриваемых признаков. Они составлены для качественного

признака (х) в восходящем порядке, исходя из хронологической

поэтапности смены семейного состояния. Второй признак количе­

ственный ­ среднедушевой доход в месяц ­ (у) проранжирован

также в восходящем порядке по степени интенсивности проявле­

ния. Пятая графа представляет разницу между парами рангов, а

шестая ­ квадраты значений разности пар рангов. Полученные

величины подставляем в формулу:

Значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена в

нашем примере свидетельствует о наличии прямой связи между

рассматриваемыми признаками, но связь эта довольно невысока.

Приведенной формулой пользуются для сгруппированных

данных или при малых выборках, т.е. тогда, когда каждый ранг

встречается в исходной совокупности по одному разу. На практи­

ке гораздо чаще встречаются материалы, где значения призна­

ков повторяются. В таких случаях формула коэффициента ранго­

вой корреляции Спирмена имеет вид:

Пример 6.5:

Дано распределение студентов по полу и успеваемости.

Определить тесноту связи между признаками.

Признак "успеваемость" (х) проранжирован по степени

интенсивности проявления в убывающем порядке (первый ранг

присвоен высшей успеваемости, последний ­ низшей). Второй

признак ­ "пол" ­ носит альтернативный характер и также

должен быть проранжирован в убывающем порядке. Для этого

оценим количественную интенсивность проявления признака в

рассматриваемой совокупности. Женщин больше мужчин. В соот­

ветствии с этим женщинам присваеваем первый ранг, а мужчи­

нам ­ второй. Далее для простоты подсчетов сведем имеющиеся

сведения в таблицу:

Полученное значение свидетельствует о прямой тесной

связи между рассматриваемыми признаками, т.е. успеваемость

во многом зависит от пола студента. Причем, положительное

значение коэффициента говорит о более высокой успеваемости

женской части учащихся.

В исторических исследованиях используются и другие ко­

эффициенты ранговой корреляции (коэффициент Кендалла, ко­

эффициент конкордации и др.), но общая теория статистики ре­

комендует пользоваться коэффициентом корреляции рангов

Спирмена. Он менее трудоемок, достаточно представителен.

Сложнее обстоит дело при вычислении силы взаимодей­

ствия признаков, проявляющейся во времени, в развитии. В ди­

намических рядах показатели могут быть обусловлены как слу­

чайными, так и детерминированными факторами, где каждое по­

следующее явление обусловлено предыдущим. На изменение

значений признака в динамическом ряду могут влиять сезонные

колебания, цикличность процесса. Следовательно, прежде чем

вычислять какой бы то ни было коэффициент корреляции, необ­

ходимо оценить характер признаков динамического ряда и фак­

торы, определяющие изменения их значений. Анализ степени

взаимодействия случайных признаков в динамическом ряду мож­

но провести на основе уже рассмотренных корреляционных ко­

Подставляем полученные значения в формулы:

эффициентов. Обязательно в данном случае должно присутство­

вать в тексте работы доказательство правомерности использова­

ния избранного приема исследования.

Когда предполагается, что компоненты динамического ря­

да могут быть связаны между собой, то прибегают к вычисле­

нию автокорреляции, раскрывающей силу зависимости между со­

седними уровнями динамического ряда. Она вычисляется по

формуле линейного коэффициента корреляции. В качестве значе­

ний первого признака (х) берутся исходные уровни динамического

ряда, за исключением последнего. В качестве значений второго

признака (у) используются те же уровни динамического ряда, но

без первого.

Пример 6.6:

Дано распределение социального состава РКП(б) в годы

гражданской войны (в тыc/чел.)

Полученное значение очень высоко, что свидетельствует о

прямой зависимости динамики социального состава от его на­

чального положения. Это может служить доказательством прове­

дения направленной социальной политики в партийном строи­

тельстве, а следовательно, о детерминированности изучаемого

процесса. Можно считать, что математически подтверждено, что

изменение социального состава РКП(б) в годы гражданской

войны нельзя считать стихийным процессом, это было управляе­

мое и жестко контролируемое явление.

Коэффициент автокорреляции рассчитывается не только

между соседними уровнями, но и между сдвинутыми на любое

число единиц времени.

В математической статистике разработаны методы опреде­

ления зависимости между динамическими рядами при помощи

корреляционного анализа, однако они требуют дополнительных

вычислений, связанных с исключением тренда, исключением ав­

токорреляции.