2. Критерий подобия Нуссельта. Характеристика критерия.

В анализе систем, имеющих границы раздела фаз, появляются внутренние характерные масштабы, связанные с взаимодействием внешних полей и поверхностных эффектов. В газожидкостных потоках важнейшая характеристика этих эффектов – коэффициент поверхностного натяжения σ, Н/м. Основные гидродинамические взаимодействия поверхностного натяжения возникают с гравитационными силами, обусловленными разностью плотностей фаз (сила Архимеда), с мерой g(ρ’–ρ’’), Па/м, динамическим напором с мерой ρU2, Па, и вязким трением, мерой которого является динамическая вязкость μ, Па*с, или кинематическая вязкость ν, м2/с. При наличии свободных границ возникают также локальные взаимодействия подъёмной (архимедовой) силы и вязкого трения. Из этих величин можно образовать несколько масштабов, существенных в анализе термогидродинамики газожидкостных систем. Вводя в классические критерии подобия внутренние линейные масштабы, можно образовать новые критерии, не зависимые от внешних геометрических характеристик потока. Такую операцию проводят в теории пограничного слоя при образовании чисел Рейнольдса. Существенно, что в данном случае результат получается нетривиальным и приводит к качественно новым безразмерным параметрам. Так, для гравитационно-вязкого течения жидкой плёнки число Нуссельта удобно писать в форме

Nu=(α/λ’)[ν’2ρ’/g(ρ’-ρ’’)]1/3                (2),

то есть строить его по внутреннему линейному масшабу. Введя в число Нуссельта линейный масштаб капиллярно-гравитационного взаимодействия, получим ещё одну его форму

Nu=(α/λ’)[σ/g(ρ’-ρ’’)]1/2                     (3)  

 

3. Критерий подобия Рейнольдса. Характеристика критерия.

Критерии подобия, необходимые условия физического подобия двух явлений, например явлений, имеющих место для натурного объекта и его модели. Критерии подобия, состоящие в равенстве для рассматриваемых явлений некоторых безразмерных величин, называются характеристическими числами. Иногда критериями подобия называются сами эти числа. Ими являются число Маха, число Рейнольдса, число Прандтля, число Струхаля, число Эйлера, число Фруда и другие.

***

Число Рейнольдса – безразмерное соотношение, которое, как принято считать, определяет ламинарный или турбулентный режим течения жидкости или газа. Число Рейнольдса также считается критерием подобия потоков.

Число Рейнольдса определяется следующим соотношением:

где ρ – плотность среды, v – характерная скорость, l – характерный размер, μ – динамическая вязкость среды.

Переход от ламинарного к турбулентному режиму происходит по достижении так называемого критического числа Рейнольдса Rekp. При Re < Rekp течение происходит в ламинарном режиме, при Re > Rekp возможно возникновение турбулентности. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.). Например, для течения в круглой трубе  .

Число Рейнольдса как критерий перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения и обратно относительно хорошо действует для напорных потоков. При переходе к безнапорным потокам переходная зона между ламинарным и турбулентным режимами возрастает, и использование числа Рейнольдса как критерия не всегда правомерно. Например, в водохранилищах формально вычисленные значения числа Рейнольдса очень велики, хотя там наблюдается ламинарное течение.

Критерий назван в честь выдающегося английского физика О. Рейнольдса (1842–1912), автора многочисленных пионерских работ по гидродинамике.

***

Критерий Рейнольдсa (критерий гидродинaмического подобия):

где W – скорость потока; L – определяющий размер; V – кинематическая вязкость среды.

***

Уравнение индукции магнитного поля имеет очень важную интерпретацию в магнитной гидродинамике. Действительно, отношение по порядку величины второго члена в правой стороне этого уравнения к первому равно

Здесь V – некоторая характерная скорость задачи (например, скорость невозмущенного потока, набегающего на обтекаемое тело), а L – характерный размер (например, размер обтекаемого тела). Величина nm называется магнитной вязкостью. Число Rem внешне похоже на число Рейнольдса в классической гидроаэромеханике (только вместо кинематической вязкости жидкости n = m /r в рассматриваемом случае в знаменателе стоит магнитная вязкость) и играет такую же важную роль, как и число Рейнольдса в гидроаэромеханике.

Предельные случаи:

Rem>>1

Rem<<1

В первом случае очень больших магнитных чисел Рейнольдса уравнение индукции магнитного поля можно записать в форме

в которой пренебречь последним членом полного уравнения, представляющим собой диссипацию энергии вследствие протекания электрических токов. Из последнего уравнения видно, что движение электропроводных жидкостей и газов в случае Rem>>1 сильно влияет на распределение магнитного поля, а, следовательно, и на распределение всех остальных электродинамических величин. Кроме того, есть теорема, что поток соленоидального вектора, которым является магнитное поле (div B = 0), через некоторую поверхность S в жидкости, ограниченную жидким контуром С, остается со временем постоянным. Физически это означает, что никакая силовая линия магнитного поля во время движения не может покинуть поверхность S через контур С. Это свойство электропроводных жидкостей и газов в случае Rem>>1 называется условием «вмороженности» магнитных силовых линий в электропроводную среду. В гидроаэромеханике аналогом являются вихревые линии, которые при некоторых условиях могут быть «вморожены» в жидкость (одна из теорем Гельмгольца о вихрях). Случай Rem>>1 чаще всего осуществляется в различных физических проблемах, встречающихся в условиях космического пространства. Это связано с тем, что обычно в этих условиях характерные размеры L приводят к очень большим значениям магнитного числа Рейнольдса.

В качестве примера приведем обтекание магнитосферы Земли солнечным ветром. Скорость солнечного ветра в районе орбиты Земли равна, в среднем, V ~ 4•107см/сек, характерный размер обтекаемой магнитосферыL ~ 10RE ~ 6,4•109 см (RE – радиус Земли), nm ~ 106 см2/сек, т.е. Rem ~ 1011>>1. Таким образом, при обтекании Земли солнечным ветром осуществляется случай Rem>>1, т.е., в силу принципа «вмороженности», солнечный ветер не может проникнуть в магнитосферу Земли, а обтекает ее, поджимая магнитосферу с подветренной стороны и вытягивая ее в хвостовой части, как показано на рис. 1. На этом рисунке область «1» представляет собой невозмущенный солнечный ветер, Г – головная ударная волна, М – так называемая магнитопауза, отделяющая солнечный ветер за головной ударной волной от магнитосферы Земли, А – точка торможения солнечного ветра, в которой скорость равна нулю, область «2» заполнена солнечным ветром, параметры которого за ударной волной отличаются от параметров в области «1», область «3» – магнитосфера Земли, куда не проникает солнечный ветер. Исследования с помощью космических аппаратов обнаружили, что хвост магнитосферы Земли может вытягиваться вплоть до орбиты Луны.

Качественная картина обтекания магнитосферы Земли солнечным ветром

Рис. 1

В случае Rem<<1 уравнение индукции имеет вид

Из этого уравнения видно, что движение электропроводных жидкостей и газов не влияет на магнитное поле, а, следовательно, и на другие электродинамические величины. В этом случае малых магнитных чисел Рейнольдса, который обычно встречается в лабораторных условиях из-за небольших электропроводностей и малых характерных масштабов рассматриваемых проблем, электрическое и магнитное поля можно считать заданными величинами и не рассматривать законы индукции Фарадея. Математическая задача решения таких проблем, к которым относятся плазменные ускорители, магнитогидродинамические генераторы энергии, электромагнитные насосы для перекачки жидких металлов и т.п., существенно упрощается.

 

Принципиальная схема устройства магнитогидродинамического генератора электрической энергии

Рис. 2

В качестве примера рассмотрим основной принцип устройства магнитогидродинамического генератора. По каналу, например, прямоугольного сечения вдоль оси Оx пропускается электропроводная жидкость со скоростью U в магнитном поле B, направленном вдоль оси Oz, перпендикулярной плоскости чертежа (смотрите рис. 2). Тогда, в силу обобщенного закона Ома, перпендикулярно скорости течения и магнитному полю (эффективное электрическое поле равно 1/c VґB) вдоль оси Oy потечет электрический ток. Если бы стенки канала 1 и 2 были диэлектриками, то возникло бы электрическое поле Е, которое привело бы к запиранию тока (Е = –1/c VґB, т.е. j = 0). Однако, если 1 и 2 являются электродами, то по показанной на рисунке 2 замкнутой электрической цепи потечет ток, который может быть измерен амперметром А. На таком принципе и устроены магнитогидродинамические генераторы. При этом массовая сила в уравнении движения, пропорциональная векторному произведению jґB, направлена противоположно скорости и будет тормозить поток.

Можно видеть, что при внешнем воздействии электрического поля, перпендикулярного внешнему приложенному магнитному полю, можно добиться, чтобы сила 1/c jґB действовала вдоль направления скорости. На таком принципе основаны плазменные ускорители.