4. Критерий Грасгофа. Характеристика критерия.

Число Грасгофа — критерий подобия определяющий перенос тепла при конвективном теплообмене для случая свободной конвекции, когда движение вызывается разностью плотностей из-за неравномерности поля температур вблизи нагретого тела:

где g — ускорение свободного падения, I характерный размер, v - кооэфициент кинематической вязкости, β — коэффициент объемного расширения, δT — разница температур между поверхностью тела и средой.Число Грасгофа является произведением числа

характеризующего отношение силы трения к подъёмной силе (архимедовой) (число Архимеда), на число Рейнольдса.

Теплоотдача в условиях свободной конвекции определяется зависимостью Nu = f(Gr, Рr), где Nu число Нуссельта, Pr— число Прандтля. Для газов и неметаллических жидкостей (при Рr> 0.7) в этом равенстве аргументом является произведение Gr*Pr, называемое числом Рэлея Ra. Для определения зависимости Nu = f(Gr, Рr) предложено много эмпирических корреляционных формул: большинство из них имеет вид зависимости

При Pr<< 1 (расплавленные металлы) формулу для определения теплоотдачи представляют в виде Nu=φ(Gr*Pr2) и часто пользуются соотношением

Параметр Gr в условиях свободной конвекции играет роль, аналогичную числу Re при вынужденных течениях. Аналогично критическому числу Reкр, критическое число Gr определяет переход от ламинарного режиматечения к турбулентному в условиях свободной конвекции.

5. Критерии подобия Прандтля. Характеристика критерия.

Критерии подобия, необходимые условия физического подобия двух явлений, например явлений, имеющих место для натурного объекта и его модели. Критерии подобия, состоящие в равенстве для рассматриваемых явлений некоторых безразмерных величин, называются характеристическими числами. Иногда критериями подобия называются сами эти числа. Ими являются число Маха, число Рейнольдса, число Прандтля, число Струхаля, число Эйлера, число Фруда и другие.

Число Прандтля (Pr) [Prandtl number] – критерий подобия, характеризующий соотношение между интенсивностью молекул, переноса механического импульса и интенсивностью переноса теплоты за счет теплопроводности в жидкостях и газах; численно равен отношению кинематического коэффициента вязкости к коэффициенту температуропроводности жидкости или газа (Рг = v/a).

Число Прандтля – один из критериев подобия тепловых процессов в жидкостях и газах:

Pr = n/a = mcp/l

где n = m/r – кинематическая вязкость; m – динамическая вязкость; r – плотность; l – теплопроводность; а = l/rcp – температуропроводность; cp – удельная изобарная среды при постоянном давлении. Названо по имени Л. Прандтля.

Теория подобия – учение об условиях подобия различных объектов (физических явлений, процессов, аппаратов, систем), отличающихся масштабами, геометрией или физической природой. Основные задачи теории подобия: установление критериев подобия разных объектов, изучение их свойств с помощью этих критериев, определение возможности обобщения результатов решения конкретных задач при отсутствии способов нахождения их полных решений. Успехи в развитии теории связаны с именами И. Ньютона, Ж. Фурье, Дж. Рэлея, T. Афанасьевой–Эренфест, M. Рябушинского, P. Бэкингема, П. Бриджмена, M. В. Кирпичева, А. А. Гухмана, Г. К. Дьяконова, Л. И. Седова и др.

Два объекта подобны, если в соответствующие (сходственные) моменты времени в соответствующих точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одного объекта, пропорциональны значениям соответствующих величин другого объекта. Коэффициент пропорциональности соответствующих величин называются коэффициентами подобия.

Виды подобия. Различают геометрическое, физическое, физико–химическое и математическое подобие. При геометрическом подобии пропорциональны геометрические характеристики соответствующих элементов объектов (например, длины, высоты или диаметры аппаратов). При физическом подобии в пространстве и времени подобны поля соответствующих физических параметров двух объектов, например, при кинематическом подобии – поля скоростей, при динамическом подобии – системы действующих сил или силовых полей (силы инерции, тяжести, вязкости, давления); при механическом или гидромеханическом подобии, предполагающем наличие геометрического, кинематического и динамического подобия, – упругие системы, потоки жидкостей, газов или их смесей; при подобии тепловых процессов – соответствующие поля температур и тепловых потоков; при подобии массообменных процессов – потоки веществ и поля их концентраций; при подобии химических процессов – поля концентраций, температур; при электродинамическом подобии – поля токов, нагрузок, мощностей, электромагнитных сил. Для сложных физических и физико–химических процессов, включающих механические, гидромеханические, тепло– и массообменные, а также химические явления, теория подобия устанавливает условия подобия, например процессов трения при движении материальных потоков в трубах, каналах и аппаратах, кинетики физико–химических превращений и других явлений. При математическом подобии рассматриваемые объекты описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет говорить, например, о подобии тепловых и массообменных процессов.

Число Прандтля:

где ν – кинематическая вязкость; a – коэффициент температуропроводности.

Физический смысл: мера соотношения вязкостных и температуропроводных свойств теплоносителей; мера соотношения полей скоростей и температур в потоке.

Существует и другое Число Прандтля*, которое в зарубежной литературе называется числом Шмидта (Sc):

где ν – кинематическая вязкость; D – коэффициент диффузии.

Физический смысл: Мера постоянства соотношений физических свойств жидкостей (газов) в подобных потоках; мера подобия профилей скоростей и концентраций в процессах массоотдачи.

Число Прандтля – безразмерная величина, определяющая процессы теплопередачи в движущихся жидкостях и газах; является критерием подобия двух неизотермических потоков жидкости (газа). Названо по имени Л. Прандтля.

Теория подобия – учение об условиях подобия физических явлений. Теория подобия основана на учении о размерностях физических величин и служит основой моделирования. Теория подобия устанавливает критерии подобия различных физических явлений, позволяющие с их помощью изучать свойства самих явлений. Явные и неявные функциональные связи между критериями подобия, которые получают с помощью теории подобия (так называемые критериальные зависимости) способствуют пониманию сложных физических процессов и помогают интерпретировать результаты как экспериментальных исследований, так и числовых расчётов, объём которых прогрессивно возрастает по мере развития численных методов и совершенствования электронно–вычислительной машины. Теория подобия, дозволяет формулировать физические закономерности и извлекать идеи из огромной массы расчётных или экспериментальных результатов.

Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональной соответствующим величинам другой системы. Физическое подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геометрического подобия, при котором существует пропорциональность (подобие) сходственных геометрических элементов подобных фигур или тел. При физическом подобии поля соответствующих (одноимённых) параметров двух систем подобны в пространстве во времени. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей различной физической природы (сил тяжести, сил давления, сил вязкости и); механическое подобие (подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем) предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля температур и тепловых потоков, при электродинамическом подобии – поля токов, нагрузок, мощностей, электро–магнитных сил. Все перечисленные виды подобия – частные случаи физического подобия.

Безразмерные величины, производные физической величины, не зависящие от изменения в одно и то же число раз величин, выбранных за основные. Если, например, за основные величины выбраны длина L, масса М и время Т и их изменения в одно и то же число раз не влияют на размер данной величины, то размерность такой величины равна L°M°T° = 1, и она в этой системе величин является безразмерной. Например, плоский угол, определяемый как отношение длины дуги окружности, заключённой между двумя радиусами, к длине радиуса, в системе LMT является безразмерной величиной, так как не зависит от длины радиуса. К безразмерным величинам относятся также все относительные величины: относительная плотность (плотность тела по отношению к плотности воды), относительное удлинение, относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости, а также критерии подобия (числа Рейнольдса, Прандтля и другие). Безразмерные величины выражаются в отвлечённых единицах. Относительные величины выражаются также в процентах (%) и промилле (°/оо).

6. Метод аналогий.

Под аналогией понимается подобие, сходство каких-то свойств, признаков или отношений у различных в целом объектов. Уста­новление сходства (или различия) между объектами осуществля­ется в результате их сравнения. Таким образом, сравнение ле­жит в основе метода аналогии.

Если делается логический вывод о наличии какого-либо свой­ства, признака, отношения у изучаемого объекта на основании установления его сходства с другими объектами, то этот вывод называют умозаключением по аналогии.

Степень вероятности получения правильного умозаключения по аналогии будет тем выше: 1) чем больше известно общих свойств у сравниваемых объектов; 2) чем существеннее обнару­женные у них общие свойства и 3) чем глубже познана взаим­ная закономерная связь этих сходных свойств. При этом нужно иметь в виду, что если объект, в отношении которого делается умозаключение по аналогии с другим объектом, обладает ка­ким-нибудь свойством, не совместимым с тем свойством, о су­ществовании которого должен быть сделан вывод, то общее сход­ство этих объектов утрачивает всякое значение.

Метод аналогии применяется в самых различных областях науки: в математике, физике, химии, кибернетике, в гумани­тарных дисциплинах и т. д. О познавательной ценности метода аналогии хорошо сказал известный ученый-энергетик В. А. Ве­ников: «Иногда говорят: «Аналогия — не доказательство» .Новедь если разобраться, можно легко понять, что ученые и не стре­мятся только таким путем доказать что-нибудь. Разве мало того, что верно увиденное сходство дает могучий импульс творчеству? Аналогия способна скачком выводить мысль на новые, неизве­данные орбиты, и, безусловно, правильно положение о том, что аналогия, если обращаться с ней с должной осторожностью, — наиболее простой и понятный путь от старого к новому»].

Существуют различные типы выводов по аналогии. Но об­щим для них является то, что во всех случаях непосредственно­му исследованию подвергается один объект, а вывод делается о другом объекте. Поэтому вывод по аналогии в самом общем смысле можно определить как перенос информации с одного объекта на другой. При этом первый объект, который собствен­но и подвергается исследованию, именуется моделью, а другой объект, на который переносится информация, полученная в ре­зультате исследования первого объекта (модели), называется ори­гиналом (иногда — прототипом, образцом и т. д.). Таким образом, модель всегда выступает как аналогия, т. е. модель и ото­бражаемый с ее помощью объект (оригинал) находятся в опре­деленном сходстве (подобии).

« .Под моделированием понимается изучение моделируемо­го объекта (оригинала), базирующееся на взаимооднозначном соответствии определенной части свойств оригинала и замещающего его при исследовании объекта (модели) и включающее в себя построение модели, изучение ее и перенос полученных све­дений на моделируемый объект — оригинал»[39].

Использование моделирования диктуется необходимостью раск­рыть такие стороны объектов, которые либо невозможно постиг­нуть путем непосредственного изучения, либо невыгодно изучать их таким образом из чисто экономических соображений. Человек, например, не может непосредственно наблюдать процесс естест­венного образования алмазов, зарождения и развития жизни на Земле, целый ряд явлений микро- и мегамира. Поэтому прихо­дится прибегать к искусственному воспроизведению подобных явлений в форме, удобной для наблюдения и изучения. В ряде же случаев бывает гораздо выгоднее и экономичнее вместо непосред­ственного экспериментирования с объектом построить и изучить его модель.

В зависимости от характера используемых в научном иссле­довании моделей различают несколько видов моделирования.

1. Мысленное (идеальное) моделирование. К этому виду мо­делирования относятся различные мысленные представления в форме тех или иных воображаемых моделей. Сле­дует заметить, что мысленные (идеальные) модели нередко могут быть реализованы материально в виде чувственно вос­принимаемых физических моделей.

2. Физическое моделирование. Оно характеризуется физи­ческим подобием между моделью и оригиналом и имеет целью воспроизведение в модели процессов, свойственных оригиналу. По результатам исследования тех или иных физических свойств модели судят о явлениях, происходящих (или могущих про­изойти) в так называемых «натуральных условиях».

В настоящее время физическое моделирование широко ис­пользуется для разработки и экспериментального изучения раз­личных сооружений, машин, для лучшего понимания каких-то природных явлений, для изучения эффективных и безопасных способов ведения горных работ и т. д.

3. Символическое (знаковое) моделирование. Оно связано с условно-знаковым представлением каких-то свойств, отношений объекта-оригинала. К символическим (знаковым) моделям от­носятся разнообразные топологические и графовые представле­ния (в виде графиков, номограмм, схем и т. п.) исследуемых объектов или, например, модели, представленные в виде хими­ческой символики и отражающие состояние или соотношение элементов во время химических реакций.

Особой и очень важной разновидностью символического (зна­кового) моделирования является математическое моделирова­ние. Символический язык математики позволяет выражать свой­ства, стороны, отношения объектов и явлений самой различной природы. Взаимосвязи между различными величинами, описы­вающими функционирование такого объекта или явления, мо­гут быть представлены соответствующими уравнениями (диф­ференциальными, интегральными, интегро-дифференциальными, алгебраическими) и их системами.

4. Численное моделирование на компьютере. Эта разновид­ность моделирования основывается на ранее созданной матема­тической модели изучаемого объекта или явления и применя­ется в случаях больших объемов вычислений, необходимых для исследования данной модели.

Численное моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан внут­ренний механизм взаимодействия. Путем расчетов на компью­тере различных вариантов ведется накопление фактов, что дает возможность, в конечном счете, произвести отбор наиболее ре­альных и вероятных ситуаций. Активное использование мето­дов численного моделирования позволяет резко сократить сро­ки научных и конструкторских разработок.

Метод моделирования непрерывно развивается: на смену од­ним типам моделей по мере прогресса науки приходят другие. В то же время неизменным остается одно: важность, актуаль­ность, а иногда и незаменимость моделирования как метода научного познания.

Теория тепломассообмена.

1. Теплопроводность. Закон Фурье.

Теплопроводность – один из видов переноса теплоты от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры. При теплопроводности перенос энергии осуществляется в результате непосредственной передачи энергии от частиц (молекул, атомов, электронов), обладающих большей энергией, частицам с меньшей энергией.

К выводу уравнения теплопроводности

Рис. 1

Рассмотрим процесс переноса. Пусть G – величина, характеризующая некоторое молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Если в равновесном состоянии распределение G равномерно по объему, то при наличии градиента G имеет место движение G в направлении его уменьшения. Пусть ось X направлена вдоль градиента G (рис. 1). Пусть имеется площадка dS, которую пересекают молекулы, пришедшие со всевозможных направлений и пересекающие ее в направлении отрицательных значений оси X. Среднее расстояние по оси X, на котором испытали последнее столкновение молекулы, пересекшие площадку dS, не равно среднему свободному пробегу, а составляет 2/3 от него: , где   – средняя длина свободного пробега молекулы. Эта величина в большинстве случаев мала, и G можно представить на расстоянии   в виде разложения Тейлора

Поток числа молекул в направлении оси X равен  , где n0 – концентрация молекул,   – средняя скорость теплового движения. Следовательно, поток G сквозь площадку dS в направлении отрицательных значений оси X равен

,

а в направлении положительных значений

,

отсюда полный поток через площадку:

.

В случае теплопроводности G есть средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы имеем

.

Тогда уравнение переноса принимает вид:

,    (1)

где

– коэффициент теплопроводности, ρ – плотность, cV – удельная теплоемкость. Уравнение (1) называется законом Фурье для теплопроводности.

Учение о теплопроводности начало развиваться во второй половине XVIII в. и получило завершение в работах Ж.Б.Ж.Фурье, опубликовавшего в 1822 г. монографию «Аналитическая теория теплоты».

Поскольку  = 1/σ, где σ – поперечное сечение, не зависит от давления, а   и также не зависит от давления, то можно заключить, что теплопроводность не зависит от давления и увеличивается приблизительно прямо пропорционально корню квадратному из температуры. Приблизительно потому, что с увеличением температуры σ несколько уменьшается по закону, зависящему от характера взаимодействия между молекулами. Для многоатомных газов необходимо также учесть возрастание теплоемкости CV  c температурой.