Задания для самостоятельного решения. Задача №1

По исходным данным, характеризующим уровень производительности труда за последние 8 лет, представленным в таблице 1, требуется:

1. найти конкретный вид тренда в линейной форме – ;

2. оценить модель по форме и статистическую значимость ее параметров «а₀» и «а₁» с помощью соответственно критерия Фишера и критерия Стьюдента ;

3. построить доверительную зону линий регрессии;

4. рассчитать прогноз уровня производительности труда на конец периода упреждения продолжительностью 4 года, с помощью доверительных границ.

Таблица 1– Исходные данные

Номер варианта	Выработка продукции на одного работающего, тыс. долл.								Уровень ПТ у основного конкурента в последние годы, %	Средний темп ПТ у конкурента, %
	Условные годы предпрогнозного периода,
	1	2	3	4	5	6	7	8
№1	2	4	4	5	6	7	7	8	95,0	+4,5
№2	2	3	4	4	6	8	8	8	91	+5,0
№3	2	4	4	6	6	7	7	8	92,0	+4,0
№4	2	3	4	5	5	7	8	8	95,0	+3,5
№5	2	4	4	6	6	7	8	8	97,7	+3,0
№6	3	3	4	5	6	6	8	8	100,0	+2,5
№7	3	3	4	5	5	8	8	8	103,0	+2,5
№8	3	3	4	6	6	7	7	7	105,0	+2,3
№9	2	4	5	6	7	8	9	9	108,0	–0,1
№10	2	4	5	7	7	8	9	9	109,0	– 0,3

Продолжение таблицы 1

Номер варианта	Выработка продукции на одного работающего, тыс. долл.								Уровень ПТ у основного конкурента в последние годы, %	Средний темп ПТ у конкурента, %
	Условные годы предпрогнозного периода,
	1	2	3	4	5	6	7	8
№11	4	4	5	6	7	8	9	9	90,0	+2,9
№12	3	4	5	6	6	8	9	9	93,0	+2,5
№13	3	5	5	6	7	8	9	9	96,0	+2,4
№14	4	4	5	6	7	8	9	9	99,0	+2,1
№15	3	3	6	6	7	8	9	9	103,0	+1,5
№16	3	4	6	7	7	8	8	8	105,0	+1,2
№17	4	5	6	8	8	8	10	10	101,0	+5,1
№18	4	6	6	6	8	10	10	10	100,0	+5,3
№19	4	5	6	7	7	7	11	11	107,0	+5,1
№20	4	5	8	7	7	9	10	10	104,0	+2,2
№21	4	5	6	9	8	9	9	9	80,0	+8,0
№22	4	5	6	8	9	9	9	10	75,0	+9,0
№23	5	6	7	7	7	11	11	11	70,0	+10,9
№24	5	6	8	8	9	9	11	11	77,0	+11,0
№25	5	7	7	8	8	11	11	11	84,0	+6,6
№26	5	7	8	8	8	10	10	10	91,0	+9,6
№27	4	6	7	9	9	11	11	11	93,0	+9,4
№28	4	7	7	8	9	11	11	11	98,0	1,2
№29	5	6	10	8	9	10	12	12	110,0	–1,5
№30	5	6	7	10	9	10	10	10	109,0	–0,8

Тема №6 Авторегрессионые методы прогнозирования

Значительная часть социально–экономических явлений развиваются по закономерностям стационарно–случайных процессов. Наиболее часто подобное можно наблюдать при анализе временных рядов, отражающих ди­намику спроса на продукты питания, объемов хранения сырьевых ресур­сов и готовой продукции на предприятиях. В таких рядах, как правило, за количественным ростом или снижением закономерно наступает тенденция обратного характера, подтверждая тем самым наличие зависимос­ти между элементами ряда.

Уравнение, выражающее зависимость переменной , для време­ни через значения этой же переменной, но в моменты времени , ,… называется уравнением ав­торегрессии.

В практике прогнозирования наиболее часто применяются уравне­ния авторегрессии в линейной форме. В зависимости от количества элементов, включенных в правую часть, уравнения авторегрессии классифицируются на уравнения 1,2–го и более высокого порядка.

Примеры подобных уравнений приведены ниже:

, (6.1)

, (6.2)

, (6.3)

Общим условием, благодаря которому можно применять метод авторегрессии в прогнозировании, является наличие статистической связи между соседними уровнями динамического ряда. Такое взаимо­действие элементов динамического ряда представляет частный случай корреляционной зависимости и называется автокорреляцией.

Расчёт прогнозов на основе авторегрессионных моделей выполняется по сле­дующему алгоритму:

1. устанавливают порядок уравнения авторегрессии;

2. рассчитывают параметры выбранной модели авторегрессии;

3. определяют прогноз признака и оценивают его точность.

Прежде чем приступить к определению порядка уравнения авторегрессии, необходимо выявить наличие или отсутствие автокорреляции между элементами, отстоящими друг от друга на различные периоды запаздывания. При наличии автокорреляции попутно устанавливается и ее форма. Для отработки данного вопроса на координатное поле наносят пары значений разных элементов:

; ;…; , (6.4)

Интервалы времени , где изменяется в пределах , характеризуют удаленность сравниваемых уравне­ний динамического ряда и называются продолжительностью запазды­вания.

Период запаздывания показывает промежуток времени, че­рез который переменные ; ;… окажут воз­действие на переменную .

По характеру распределения точек на координатном поле, уста­навливают между какими элементами ряда действует корреляционная связь. Автокорреляционное взаимодействие элементов динамического ряда по мере увеличения продолжительности периодов запаздывания уменьшается, разброс точек на координатном поле возрастает. Оцен­ка уровня тесноты автокорреляционной связи выполняется по коэф­фициенту автокорреляции , расчет которого выполняют по формуле:

, (6.5)

где – коэффициент автоковариации;

– общая дисперсия ряда.

Перечисленные составляющие при расчете коэффициента автокорреляции рассчитывают по формулам:

, (6.6)

, (6.7)

где – значения элементов ряда;

– значения элементов ряда, смещенных относительно точки на

периодов запаздывания;

– среднее значение признака;

– число элементов ряда.

Среднее значение признака рассчитывается по формуле простой среднеарифметической величины:

, (6.8)

Рассчитав, несколько коэффициентов автокорреляция, проранжировав их в зависимости от увеличения периодов запаздывания , можно получить автокорреляционную функцию. Автокорреляционная функция, как нетрудно догадаться, характеризует зависимость коэф­фициентов автокорреляции от продолжительности периодов запаздыва­ния . С помощью этой функции выполняется качествен­ная оценка порядка уравнения авторегрессии. Автокорреляционную функцию, как правило, исследуют в следующем интервале области ис­следования .

Для окончательного определения порядка уравнения авторегрессионной функции применяется частная автокорреляционная функция. Ис­пользование этой функции основано на признании того факта, что ко­эффициенты авторегрессии принимают лишь в начале последова­тельности ненулевые значения. Коэффициенты авторегрессии более вы­сокого порядка стремятся к нулю , подтверждая тем самым снижение степени влияния более отдалённых элементов от точки на функцию .

Введем двойные подстрочные индексы коэффициентам авторегрес­сии, которые показывают:

1. первый – общее число включенных в уравне­ние коэффициентов авторегресии;

2. второй – порядковый номер коэф­фициента авторегрессии в уравнении.

После подобных преобразований система уравнений имеет следующий вид:

, (6.9)

, (6.10)

, (6.11)

По мере увеличения порядка уравнения авторегрессии абсолют­ная величина коэффициента авторегрессии уменьшается.

Зави­симость коэффициентов авторегрессии от периодов запаздывания называется частной автокорреляционной функцией.

Порядок уравнения авторегрессии с помощью частной автокорреляционной функции устанавливают следующим образом:

– рассчитывают коэффициенты авторегрессии с разными периодами запаздывания;

– ранжируют коэффициенты авторегрессии в порядке возрастания периодов запаздывания ;

– анализируют значения коэффициентов авторегрессии по мере роста периодов запаздывания.

Коэффициент авторегрессии, существенно отличающийся от нуля, определяет порядок уравнения авторегрессии.

Коэффициенты авторегрессии можно рассчитывать одним из спо­собов: методом наименьших квадратов или приближенным методом.

Первый способ более подробно будет рассмотрен ниже, рассмотрим второй.

По второму способу расчеты ведутся с применением ряда фор­мул:

Для , (6.12)

, (6.13)

Предположим, что на основе анализа частной автокорреляционной функции был установлен порядок уравнения авторегрессии, равный трем.

, (6.14)

После определения порядка уравнения авторегрессии необходимо рассчитать его параметры. На примере модели (14) рассмотрим порядок расчета параметров способом наименьших квадратов, предусматривающий построение и решение системы нормальных уравнений.

Система нормальных уравнений для модели (6.14) имеет следующий вид:

, (6.15)

После нахождения параметров прогнозирующей функции и записи ее в конкретном виде приступают к расчету прогнозов в несколько этапов:

– на первом этапе рассчитывают значение переменной для вре­мени.

Для этого в уравнение авторегрессии необходимо подста­вить такое количество последних элементов динамического ряда, кото­рое равно порядку авторегрессионной модели;

– на втором этапе рассчитывают значение признака на момент времени : при ; и т.д.

Для оценки точности прогноза можно использовать ряд статисти­ческих показателей. Наибольшее распространение получил показатель абсолютного среднего отклонения , расчет которого выполняют по формуле:

, (6.16)

где , – соответственно значения исходных и расчетных эле­ментов

ряда;

– количество элементов ряда;

– порядок прогнозирующего уравнения авторегрессии;

– период упреждения, на который рассчитывается прогноз.

Вычисления для предпрогнозного периода осуществляют путем сопоставления исходных и расчетных значений элементов ряда, используя при этом формулу

,