3. Теорема сложения вероятностей
Суммой
двух событий
А
и В
называют событие, состоящее в появлении
события А
или события В,
или обоих этих событий.
В частности, если два события А и В несовместны, то - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Теорема.
Вероятность появления одного из двух
несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий:
.
Полная группа событий
Теорема.
Сумма вероятностей событий А1,
А2,
…Аn,
образующих полную группу, равна единице:
.
Противоположные события
Противоположными
называют два единственно возможных
события, образующих полную группу. Если
одно из событий обозначают
,
то другое принято обозначать
.
Например, если событие
-
выпадение на кубике чисел от 1 до 4, то
событие
есть
выпадение чисел от 5 до 6.
Теорема.
Сумма вероятностей противоположных
событий равна единице:
.
4. Теорема умножения вероятностей
Произведение событий
Произведением
двух событий
называют событие, состоящее в совместном
появлении этих событий. Например, событие
- появление четного числа, событие
-
появление положительного числа. Тогда
их произведение есть число, четное, и
одновременно положительное.
Условная вероятность
Если при вычислении вероятности события не налагается никаких дополнительных ограничений, то такая вероятность называется безусловной. Если же имеются некоторые дополнительные ограничения, то вероятность называется условной.
Условной
вероятностью
называют
вероятность события
,
вычисленную в предположении, что событие
уже
наступило.
Пример 1.
В урне 3 белых и 3 черных шара. Найти вероятность вытащить белый шар, если до этого из урны был извлечен черный шар.
Решение.
Пусть
-
появление черного шара,
-
белого шара. После извлечения черного
шара в урне осталось 3 белых и 2 черных.
Тогда
.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
.
Теорема умножения для независимых событий
Событие называют независимым от события , если появление события не изменяет вероятность наступления для события .
Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:
.
Пример 2.
Имеется 3 ящика по 10 деталей. В первом имеется 2, во втором 3, в третьем 4 бракованных деталей. Из каждого ящика достают по одной детали. Какова вероятность, что все они окажутся годными.
Решение.
Вероятности достать из каждого ящика годную деталь соответственно равны:
;
;
.
Искомая вероятность должна быть вычислена для произведения независимых событий:
.
5. Следствия теорем сложения и умножения
Теорема сложения вероятностей для совместных событий
Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей их появления минус вероятность их совместного появления:
.
Пример 3.
Вероятности попаданий стрелков равны 0,6 и 0,7. Какова вероятность, что при одном залпе будет хотя бы одно попадание.
Решение.
Попадания стрелков
есть независимые события, поскольку
попадание (или промах) одного из стрелков
не изменяет вероятности попадания для
другого стрелка. Хотя бы одно попадание
означает, что требуется найти вероятность
для суммы событий
,
поэтому воспользуемся формулой сложения:
.
Формула полной вероятности
Пусть имеется полная группа несовместных событий А1, А2, …Аn, для каждого из которых известна вероятность его появления. Каждое из этих событий может привести к наступлению события В. Также известны все условные вероятности наступления события В, при условии, что ему предшествовало какое-то из событий А1, А2, …Аn. В этом случае вероятность наступления события В может быть вычислена по формуле:
Вероятность события В, которое может наступить лишь при условии появления одного из событий А1, А2, …Аn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события В.
Применительно к этой формуле полная группа несовместных событий принято называть гипотезами. По определению полной группы несовместных событий сумма их вероятностей должна быть равна единице, что используется на практике в качестве проверки.
Пример 4.
В первой урне содержится 5 белых шаров и 6 черных, во второй урне – 3 белых и 4 черных. Из первой урны достают один шар и перекладывают его во вторую урну. Какова вероятность достать из второй урны белый шар?
Решение.
Гипотезами в данной задаче являются:
-
во вторую урну переложили белый шар,
;
-
во вторую урну переложили черный шар,
.
Сделаем проверку
для суммарной вероятности гипотез:
.
Условные вероятности
считаются в предположении, что произошло
одно из событий
или
.
Так
считается в предположении, что во вторую
урну переложили белый шар, после чего
их стало 4 белых и 4 черных. Тогда
.
Вероятность
считается в предположении, что во вторую
урну переложили черный шар, после чего
их стало 3 белых и 5 черных, значит
.
Окончательно получим:
.
Вероятности гипотез. Формула Бейеса.
Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий А1, А2, …Аn, образующих полную группу, называемых гипотезами. Как известно, вероятность появления события определяется по формуле полной вероятности
.
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие . Определим, как изменились после этого вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
,
,
…
.
Найдем условную вероятность . По теореме умножения имеем
.
Отсюда
.
Заменив
по формуле полной вероятности, получим
.
Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие .
Пример 5.
Детали попадают на проверку к одному из двух контролеров. Вероятности того, что они попадут к ним, равны соответственно 0,4 и 0,6. Вероятности того, что детали будут признаны годными, соответственно равны 0,94 и 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что ее проверил первый контролер.
Решение.
Событие состоит в том, что деталь признана стандартной, отсюда следуют две гипотезы:
1)
-
деталь проверил первый контролер;
2)
-
деталь проверил второй контролер.
Искомую вероятность найдем по формуле Бейеса:
.
По условию задачи имеем:
;
;
;
.
Искомая вероятность
.
Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, она изменилась и стала равной 0,59.