III. Дискретная случайная величина (дсв)

1. Характеристики и параметры дсв

Дискретной называется случайная величина, которая может принимать строго определенный ряд значений. ДСВ очень часто встречаются в практических математических расчетах.

Задать ДСВ можно, определив ее характеристику – закон распределения, показывающий соответствие между величинами x_i и их вероятностями p_i, например, табличным способом.

xi	x1	x2	x3	x4
pi	p1	p2	p3	p4

При этом для вероятностей должны выполняться 2 условия:

1) ,

2) .

поскольку это есть достоверное событие .

Зависимость p_i(x_i) можно отобразить в виде графика, представляющего собой ломаную линию.

Характеристика p_i(x_i) дает наглядное отображение заданной ДСВ, но при практических расчетах удобно также пользоваться параметрами закона распределения.

Математическое ожидание представляет собой средневзвешенное ожидаемое значение ДСВ, заданной законом распределения p_i(x_i), и вычисляется так

,

то есть представляет собой сумму произведений случайных величин x_i на их вероятности p_i(x_i). Математическое ожидание дает наиболее вероятное значение ДСВ для заданного закона распределения.

Дисперсия определяется по формуле

,

и есть математическое ожидание от квадрата отклонения ДСВ от своего математического ожидания. Дисперсия характеризует квадрат отклонения ДСВ от величины , то есть дает информацию о разбросе ДСВ.

Для практических расчетов применяется формула:

,

где - математическое ожидание от квадрата ДСВ.

Дисперсия является величиной неудобной для восприятия, поскольку имеет размерность [ ]. По этой причине вводится величина - среднеквадратичного отклонения, которая также характеризует разброс ДСВ, но ее размерность совпадает с размерностью самой ДСВ.

Замечание. Для простоты записи мы будет пользоваться следующими обозначениями для величин математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения: , ,

Пример 1. В урне имеется 5 шаров с номером «2», 6 – с номером «5» и 10 – с номером «9». Вытаскивают без возврата 2 шара. Найти закон распределения вероятностей p_i(x_i) для суммы номеров вытащенных шаров. Вычислить величины , , . Построить график зависимости p_i(x_i).

Решение. Переберем все возможные ситуации, при этом учтем, что на сумму номеров не влияет порядок следования шаров. Например, позиции «2», «5» и «5», «2» будут эквиваленты. Для удобства упорядочим перебор в порядке возрастания чисел

№	1	2	3	4	5	6
событие	2;2	2;5	2;9	5;5	5;9	9;9
сумма	4	7	11	10	14	18

Остается определить вероятности для всех событий x_i;

Событие x₁ (2;2) наступит, если оба раза будет вытащен шар с номером «2». Тогда вероятность p₁ будет равна произведению вероятностей вытащить этот шар для обоих случаев:

,

где - вероятность вытащить 5 шаров из 21 = 5 + 6 + 10, а - вероятность вытащить 4 оставшихся из 20 = 21 – 1.

Аналогично определяются вероятности и :

;

.

Вероятности , и будут определены по-другому. Поскольку сумма чисел не зависит от порядка их следования, то, например, ситуации 2;5 и 5;2 равноправны, и каждая из них вносит свой вклад в вероятность этого сложного события. Поэтому эти вероятности будут определены как сумма вероятностей простых событий:

;

;

.

Мы получили закон распределения вероятностей для ДСВ:

xi	4	7	11	10	14	18
pi	2/42	6/42	10/42	3/42	12/42	9/42

Проверим условие , .

Вычислим величину :

.

Найдем :

.

Найдем .

Построим график зависимости p_i(x_i) и отобразим на нем величины и (рис 1).