IV. Непрерывная случайная величина (нсв)

1. Характеристики и параметры нсв

Непрерывная случайная величина (НСВ) может принимать любые значения в определенном диапазоне. Практически имеется в виду, что случайная величина принимает в заданном диапазоне настолько много значений, что эту величину можно считать непрерывной.

Функцию называют плотностью распределения, если на определенном интервале она дает вероятность для .

Для плотности вероятности должны быть выполнены 2 условия, аналогичные п III.1:

1) ,

поскольку появление случайной величины во всем интервале есть достоверное событие;

2) , по определению вероятности.

Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение НСВ имеют тот же смысл, что и для ДСВ и находятся так:

;

, где ;

.

Интегральная функция распределения вероятностей показывает для всякого вероятность того, что случайная величина не больше заданного значения :

.

Функция обладает некоторыми свойствами:

1) ; поскольку .

2) ; поскольку .

3) , по определению вероятности.

Практическое применение интегральной функции вероятностей в вычислении вероятности нахождения случайной величины в диапазоне . Дело в том, что для НСВ вероятность в точке не несет практической информации, поскольку в любом ограниченном интервале имеется бесконечное число точек. Напротив, определение вероятности в диапазоне всегда имеет практическую ценность. Эта вероятность считается по формуле:

.

Пример 1.

И звестно, что вероятность НСВ в интервале обратно пропорциональна самой величине. Найти , , , , , построить графики, найти .

Решение.

Из условия . Константа может быть определена из условия

.

Решим это уравнение

.

Отсюда имеем

.

Окончательно

.

График функции показан на рис. 2.

Н айдем .

Проверим свойства функции :

1) ;

2) .

График функции приведен на рис. 3.

Найдем величины , , :

.

.

.

.

Найдем

.

2. Равномерное распределение нсв

НСВ распределена равномерно, если во всем интервале ее обнаружения вероятность ее постоянна и равна (рис. 4).

Практическое применение равномерного распределения правомерно в двух случаях:

1. Отсутствие выделенных областей, когда действительно вероятность обнаружения не зависит от местонахождения объекта;

2. Отсутствие какой-либо информации об исследуемом объекте. В этом случае данная модель может быть использована как первое приближение.

Вычислим , , , , для равномерного распределения.

По определению вероятности

.

Р ешим это уравнение

;

отсюда .

Итак

Из этого выражения следует важный практический вывод: равномерное распределение НСВ не может описывать объекты, для которых хотя бы одна из величин или . В таком случае и объект «теряется» в пространстве.

.

Этот результат легко объясним: если объект может находиться с равной вероятностью в любой точке интервала , то наиболее вероятно его обнаружить посередине этого интервала (рис. 4).

.

.

Проделав несложные алгебраические преобразования, можно показать, что

.

Тогда

.

О тметим важное свойство: все параметры и характеристики равномерного распределения однозначно определяются, если известен интервал нахождения случайной величины.

.

Проверим выполнение свойств функции :

;

.

График функции показан на рис. 5.

Формула для определения вероятности в заданном интервале :

.

Пример 2.

Поезд ожидается с равной вероятностью от -3 до +5 минут от времени прибытия. Найти , , , , , а также вероятность того, что неточность прихода будет не больше 1 мин.

Считая такую неточность независимым событием, найти вероятность того, что при 5-ти испытаниях оно произойдет 3 раза.

Решение.

Для этого равномерного распределения ; . Подставив в формулы п. IV.2, получим:

;

;

;

.

Вероятность неточности не более чем на 1 мин есть , она равна

.

Вторая часть задачи требует вернуться к п. III.2, поскольку мы имеем биномиальное распределение, где событие А есть неточность прихода поезда не более, чем на 1 мин, и вероятность его равна p = 0,25. Соответственно, q = 0,75. Тогда

.