Задачи к п. II
Классическая вероятность
В первом классе 15 мальчиков и 10 девочек. В группу чтецов стихов наудачу из списка выбирают три первоклассника. Найти вероятность, что все выбранные школьники будут мальчиками.
Студент успел выучить 20 вопросов из 23. Каждый билет на зачете состоит из двух вопросов, которые не повторяются в билете. Найти вероятность, что студент ответит на все вопросы наудачу выбранного билета.
Семитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 7)?
Найти вероятность того, что из 15 книг, расположенных в случайном порядке, 5 определенные книг окажутся рядом.
Две игральные кости подбрасываются наудачу. Найти вероятность, что сумма выпавших очков равна восьми.
В урне 7 черных, 5 белых и 8 синих шаров. На удачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность, что: шары будут разных цветов, шары будут одного цвета.
Среди 30 студентов, из которых 11 девушек, разыгрываются три билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) три девушки; б) три юноши; в) две девушки и один юноша?
Найти вероятность, что в перемешанной колоде из 36 карт все четыре десятки окажутся рядом.
В лифт одиннадцати этажного дома вошли пять человек. Каждый пассажир лифта с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность, что пассажиры лифта выйдут: на разных этажах, на одном этаже.
Абонент забыл две последние цифры нужного номера телефона. Он знает, что эти две цифры четные и различны. Найти вероятность, что абонент дозвонится по нужному ему номеру.
Из колоды карт (36 штук) последовательно извлекаются две карты. Найти вероятность, что:
извлечены король и дама;
первой извлечен король, второй картой является дама.
Найти вероятность того, что из трех вытащенных карт одна окажется тузом. Карты извлекаются без возврата.
Найти вероятность того, что при двух бросках кубиков сумма цифр будет не больше 5.
Вероятность прихода автобуса относится к вероятности прихода троллейбуса как 2:3. Найти вероятность того, что на остановку одновременно придут и автобус и троллейбус.
На трассе количество легковых машин относится к количеству грузовых как 7:3. Вероятность заправки для легковой машины равна 0,4, а для грузовой – 0,5. Какова вероятность, что подъехавшая на заправку машина будет грузовой?
В квадрате со стороной 10 см наугад ставят точку. Какова вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей из вершин не более 3 см?
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, расстояние между которыми равно
.
На нее бросают монету радиусом
.
Найти вероятность того, что монета не
пересечет линию.Наудачу взяты два положительных числа x,y, каждое из которых не больше двух. Найти вероятность того, что их произведение будет не больше единицы.
Найти вероятность того, что при втором броске кубика выпадет число, большее того, которое выпало при первом броске.
Найти вероятность того, что при броске 3 монет число орлов будет больше числа решек.
Найти вероятность того, что при вытаскивании карт вторая будет старше первой.
Теоремы сложения и умножения и условная вероятность
В урне 20 шаров: 10 красных, 5 синих и 5 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.
В двух урнах находятся шары, которые отличаются только цветом. В первой урне: 5 белых, 7 черных и 5 красных. Во второй урне: 8,5,3 шара белого, черного и красного цвета соответственно. Из каждой урны наудачу извлекаются шары. Какова вероятность, что извлеченные шары одинакового цвета.
Иван может пройти курс обучения по компьютерным дисциплинам или физике. Если Иван выбирает компьютерные дисциплины, то он получит пятерку с вероятностью 1/2, а если он берет курс физики, то - с вероятностью 1/3. Иван принимает решение, используя подбрасывание монеты. Какова вероятность того, что Иван получит пятерку по физике?
Пусть урна содержит 7 черных шаров и 5 белых шаров. Извлекаем два шара из урны без возвращения. Каждый шар извлекается из урны с равной вероятностью. Чему равна вероятность, что извлечены шары черного цвета.
В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны четыре человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.
Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность произведения событий: сумма очков равна шести и первой выпала четверка.
В ящике 15 деталей, среди которых 6 стандартных. Мастер наудачу извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся стандартными.
Из колоды карт (36 штук) наудачу сразу извлекаются три карты. Определить вероятность того, что это будут три «короля», если известно, что эти три карты «картинки».
Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым орудием, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
Найти вероятность того, что две извлеченные из колоды карты будут разной масти.
В урне находятся пронумерованные шары от 1 до 20. Найти вероятность того, что из трех извлеченных шаров будет один с четным номером.
В урне находятся шары белого и черного цвета. Известно, что вероятность достать один белый и один черный шар равна 0,4. Каково соотношение белых и черных шаров в урне?
Какая вероятность больше: достать одного туза из двух карт, или две карты одной масти?
На пяти карточках написано по одной букве так, что они составляют слово «колос». Карточки перемешиваются, а затем раскладываются наудачу снова в ряд. Какова вероятность тою, что получится слово «сокол»?
Абонент не записал последнюю цифру номера. Найти вероятность, что, набирая эту цифру наудачу, он позвонит не более чем в два места.
Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания этих стрелков соответственно равны a, b, c. Найти вероятность, что будет хотя бы одно попадание, два попадания.
Формула полной вероятности и формула Байеса
В первой урне 10 белых и 5 черных шаров, во второй 5 белых и 7 черных. Из каждой урны берут случайно по одному шару, а затем случайно берут один из двух выбранных. Какова вероятность, что выбранный шар окажется белым; черным?
В первой урне 4 белых и 8 черных шаров; во второй урне 3 белых и 1 черный. Из первой урны случайно извлекли один шар и положили его во вторую урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, будет черным?
В урне было 12 белых и 10 черных шаров. Какова вероятность, что второй извлеченный шар окажется белым?
В урне 4 белых шара, а количество черных с одинаковой вероятностью равно 5, 6 либо 7. Какова вероятность, что вытащенный шар будет белым?
В урне находятся 10 белых шаров, а количество черных неизвестно. Вероятность достать один белый и один черный равна 0,4. Сколько черных шаров в урне?
В урне находятся 6 белых и 10 черных шаров, при этом наугад извлекаются 2 шара. Какова теперь вероятность извлечь черный шар?
В урне находятся 10 пронумерованных по порядку шаров (от 1 до 10). С какой вероятностью сумма двух вытащенных шаров будет равна 6?
В урне 4 белых шара, а количество черных равно 5 с вероятностью 0,3 и 6 с вероятностью 0,7. Какова вероятность, что вытащенный шар будет белым?
Два стрелка имеют вероятности попаданий 0,8 и 0,35. Какова вероятность, что наугад выбранный стрелок поразит мишень с двух выстрелов хотя бы 1 раз?
Вероятности попаданий стрелков равны 0,6 и 0,8. Найти вероятность 2-х попаданий при 2-х залпах.
В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность, что в эту урну можно опустить и достать шар того же цвета?
Вероятности попаданий стрелков равны 0,5 и 0,8. Какова вероятность, что единственное попадание при одном залпе сделал первый стрелок; второй стрелок?
Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что: 1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль; 2) изделие стандартное, если оно: а) прошло упрощенный контроль; б) дважды прошло упрощенный контроль.
Имеются три партии деталей по 40 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 35, 25, 20. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из первой партии.
В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92% случаев. 1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. 2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?
В специализированную больницу поступают в среднем 25% больных с заболеванием А, 45%—с заболеванием В, 30%—с заболеванием С- Вероятность полного излечения болезни А равна 0,9; для болезней С и А эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием В.
В пирамиде 15 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
В ящике содержится 10 деталей, изготовленных на заводе № I, 15 деталей на заводе № 2 и 35 деталей— на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
В первом ящике содержится 45 деталей, из них 35 стандартных; во втором −10 деталей, из них 7 стандартных; в третьем — 25 деталей, из них 12 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная.
В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85;0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С−1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С−11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С−1 или С−11, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о срабатывании автомата. Найти вероятность, что автомат снабжен сигнализатором С−11.
В двух ящиках находятся по 10 деталей первого и второго сортов. В первом ящике 2 второсортных детали, а во втором 3. Из выбранного наудачу ящика взяли 2 детали, оказавшиеся разных сортов. Найти вероятность, что детали выбрали из второго ящика.
Для участия в спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй−6, из третей группы−5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0,9 , 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент из наудачу выбранной группы попал в сборную института.
Из двух близнецов первый мальчик. Какова вероятность того, что второй тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны а и b , а вероятности рождения разнополых близнецов в любой последовательности −одинаковы?
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника—0,9, для велосипедиста—0,8 и для бегуна—0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
В лаборатории анализ крови эффективен в 95 процентах выявления определенного заболевания, когда оно присутствует в организме. Однако, тест также дает "ложный положительный" результат на 1 процент здоровых лиц испытания.(То есть, если здоровый человек проверяется, с вероятностью 0,01, результат теста будет означать, что он болен.) Если у 0,5 процента населения на самом деле имеется заболевание, какова вероятность, что у человека есть болезнь, учитывая, что его результат теста положительный.