13.4. Дополнительные задачи и решения Задача 13.1.Доп

Следующие представленные здесь работы большого строитель­ного проекта необходимо представить в виде сети, соответствую­щей выполняемым работам.

Работа	Непосредственный предшественник	Работа	Непосредственный предшественник
А	–	Е	В
В	–	F	С, Е
С	А	G	D
D	В	Н	F, G

Решение

Задача 13.2.ДОП

После тщательного анализа каждой работы, которую нам не­обходимо выполнить, мы получили следующие оценки оптимис­тического, наиболее вероятного и пессимистического времени и рассчитали ожидаемое время выполнения этих работ и дисперсии (все времена в неделях):

Работа	a	m	b	t	Дисперсия
А	2	3	4	3	1/9
В	1	2	3	2	1/9
С	4	5	12	6	16/9
D	1	3	5	3	4/9
E	1	2	3	2	1/9

Сетевая модель, представленная на диаграмме внизу, показы­вает путь решения стоящей перед нами задачи.

Задача 13.3.ДОП

Реконструируем сеть в 13.2, включив в нее ожидаемое время выполнения работ.

Решение

Вначале введем ES (раннее время начала) и EF (раннее время окончания) для всех работ после того, как примем, что проект начинается в момент времени, равный нулю. Обе работы, А и В, могут начаться в момент времени, равный нулю, и закончиться в момент, равный продолжительности их выполнения. ES для работ С и Е равен 3, поскольку обе работы могут начаться только после того, как работа А завершится к моменту времени 3. ES для работ С и Е могут быть найдены добавлением времени их выполнения t к их оценкам ES = 3. Расчет ES работы D дает результат, равный самому большему значению EF работ, входящих в узел 3 и пред­шествующих началу работы D. Из двух работ В и Е, входящих в узел 3, величина ЕF для работы Е является наибольшей и равной 5. Поэтому ES для работы D равно 5. Действуя подобным образом, получим, что ES для С равно 3. В этом проекте финальное значе­ние EF равно 9 неделям, что соответствует длине критического пути и определяет время завершения проекта в целом.

Задача 13.4.ДОП

Следующим шагом будет расчет LS (позднее время начала) и – LF (позднее время окончания) для каждой работы. Вначале LF для заключительных работ проекта (С и D в этом примере) должны быть равны времени завершения проекта или 9 неделям в этом случае. Для того чтобы завершить работу D к моменту 9, она должна начаться (LS) не позднее момента 6, так как сама рабо­та D длится три недели. Работа С, рассматриваемая аналогичным образом, требует шесть недель для ее выполнения, поэтому ее LS = 9 – 6 = 3. Заметим, что LF для работы А не может быть рассчитана, пока мы не узнаем LS для всех следующих за А работ. Поэтому продолжим расчет и прокалькулируем LF для работ В и Е как равные 6 для каждой, поскольку LS для работы D равно 6. Теперь мы можем вычислить LF для этих работ, учитывая, что их продолжительности t = 2 одинаковы. Значит, для обеих работ В и Е позднее время начала LS будет равно 4. Теперь LF работы А может быть определено как наименьшее работы С или LS рабо­ты Е. Оно равно в этом случае 3. LS работы А становится равным LF – t или 3 – 3 = 0.

Резерв каждой работы теперь может быть рассчитан как LF – ЕF или LS – ES. Результат сведен в таблицу.

Работа	Резерв	Дисперсия
А	0	1 / 9
В	4
С	0	16 / 9
D	1
E	1

Те работы, которые имеют минимальные значения резервов времени (в этом случае А и С) определяют критический путь. Если EF для последней работы определяет время завершения проекта, то ее резерв должен быть равен нулю. Поскольку дисперсия последовательности есть величина аддитивная, и работы на кри­тическом пути располагаются последовательно, дисперсия крити­ческого пути есть сумма дисперсий работ А и С, т. е. 17 / 9 недель. Если на критическом пути имеется большое число работ, то вероятное время завершения проекта будет соответствовать нор­мальному распределению и опишется кривой нормального рас­пределения со средним значением, равным девяти неделям, и стандартным отклонением, равным корню из 17 / 9. Но следует помнить, что в общем случае может быть более одного критичес­кого пути, поэтому нужно выстраивать последовательность работ внимательно. И еще следует помнить, что стандартное отклонение не обладает свойством аддитивности.

Задача 13.5.ДОП

Проект имеет ожидаемое время завершения 40 недель и стан­дартное время отклонения пять недель. Принято, что время завер­шения проекта распределяется по нормальному закону.

а) Какова вероятность того, что проект завершится за 50 не­дель или менее?

б) Какова – вероятность того, что проект завершится за 38 недель или менее?

в) Дата завершения проекта должна быть такой, чтобы соот­ветствовать шансу ее выполнения на 90 %. Какова дата завершения проекта?

Решение

а) Р (X ≤ 50) = Р (Z ≤ 2) = .97725;

б) Р (X ≤ 38) = Р (Z ≤ – .4) = .34458;

в) величина Z = 1.28. Дата завершения проекта = 40 + 1.28 (5) = 46.4 нед.

Задача 13.6.ДОП

Развитие новой версии популярного программного обеспече­ния находится в стадии разработки. Работы, необходимые для завершения проекта, перечислены ниже.

Работа	Нормальное время	Ускоренное время	Нормальная стоимость, $	Увеличенная стоимость, $	Непосредственное предшествование
А	4	3	2000	2600	–
В	2	1	2200	2800	–
С	3	3	500	500	–
D	8	4	2300	2600	A
E	6	3	900	1200	B
F	3	2	3000	4200	C
G	4	2	1400	2000	D, E

а) Чему равна дата завершения проекта?

б) Чему равна общая стоимость проекта при нормальном времени его протекания?

в) Если вы хотите уменьшить время завершения проекта на одну неделю, время какой работы должно быть сокращено и на сколько это сокращение увеличит величину общих затрат?

Решение

а) время завершения проекта равно 16 (работы А – D – G);

б) общие затраты равны $12300;

в) работа на одну неделю с дополнительными затратами $75.