3.3. Частотне зображення детермінованих сигналів

3.3.1. Частотне зображення періодичних сигналів

Нехай сигнал задано довільною періодичною функцією часу x(t) (рис. 3.5, а), яка на заданому інтервалі має кінцеву кількість максимумів і мінімумів, неперервна всюди, крім кінцевої кількості точок, у якій вона може мати розриви першого роду, тобто задовольняє умовам Діріхле. Відомо, що таку функцію можна зобразити у вигляді нескінченної суми гармонічних складових — рядом Фур’є, який має дві форми зображення: тригонометричну й комплексну.

Тригонометрична форма розкладення будь-якої функції має вигляд

,

(3.4)

де — постійна складова функції x(t);

— гармонічна складова цієї функції;

— амплітуда, частота й початкова фаза k-ї гармонічної складової;

— частота основної (першої) гармонічної складової;

Т — період коливань функції x(t).

Комплексна форма розкладення будь-якої функції в ряд Фур’є має вигляд

,

(3.5)

де — комплексна амплітуда k-ї гармонічної складової частоти .

Вирази (3.4), (3.5) є тотожними, якщо

(3.6)

При цьому модуль комплексної амплітуди буде дорівнювати амплітуді відповідної гармонічної складової, а аргумент — початковій фазі гармонічної складової, тобто

.

Комплексна амплітуда визначається за допомогою формули

.

(3.7)

Сукупність амплітуд і частот відповідних гармонічних складових сигналу прийнято називати спектром амплітуд, сукупність початкових фаз і частот відповідних гармонічних складових — спектром фаз, Спектр амплітуд і спектр фаз однозначно визначають сигнал. На рис. 3.5, б, в подано графічні зображення спектра амплітуд і спектра фаз періодичного сигналу.

Окремі спектральні складові називають спектральними лініями. Особливістю спектра періодичного сигналу є його дискретність. Відстань між сусідніми лініями спектра є однаковою і дорівнює частоті основної гармонічної складової ₀.

а

б в

Рис. 3.5. Частотне подання (зображення) періодичного сигналу

Приклад 3.1. Визначити спектр амплітуд періодичної послідовності прямокутних імпульсів тривалістю 2, амплітудою А з періодом проходження Т (рис. 3.6, а).

Розв’язання. Функцію x(t) (рис. 3.6, а) можна зобразити у вигляді

i = 0, 1, 2, ..., .

а згідно з (3.5) — рядом Фур’є:

,

де .

Якщо t₁ = – , то

.

а б

Рис. 3.6. Сигнал і його спектр амплітуд

Відомо, що , а Т₀ = 2. Тоді

З урахуванням значень А₀ і А_к розкладення в ряд Фур’є періодичної послідовності прямокутних імпульсів зображується у вигляді

.

(3.8)

З цього виразу випливає, що при А_k = 0. Спектр амплітуд для цього сигналу показано на рис. 3.6, б, а його обвідна визначається виразом

,

де .

З виразу (3.8) випливає, що при збільшенні частоти на величину фаза гармонічних складових змінюється на π. Для розвязання багатьох практичних задач (визначення практичної ширини спектра, визначення середньої потужності сигналу та ін.) достатньо обмежитися визначенням тільки спектра амплітуд сигналу.