19.4. Існування і властивості визначеного інтегралу.

Не для всякої функції існує визначений інтеграл, але якщо функція неперервна на проміжку , то визначений інтеграл існує (очевидно з геометричних міркувань).

Неперервність є достатньою, але не необхідною умовою існування визначеного інтегралу.

Випадки, коли відрізок містить точки розриву, або коли інтервал не є скінченним, вимагають окремого розгляду і введення більш загального поняття невласного інтегралу.

Далі буде сформульована основна теорема диференціального і інтегрального числення – формула Ньютона-Лейбніца. Вона зводить обчислення визначених інтегралів до взяття невизначених інтегралів, тому властивості перших і других дуже схожі. Пропонуємо „взяти за основу” властивості невизначених інтегралів і сформулювати відповідні властивості визначених інтегралів.

19.5. Напіввизначений-напівневизначений інтеграл (інтеграл зі змінною верхньою межею).

Нехай деякий об’єкт рухається зі змінною швидкістю. Шлях, який пройшло тіло за час від до в точності дорівнює

Визначимо довжину шляху , пройденого тілом за час від до проміжного значення :

„t” у верхній межі інтегралу та в підінтегральному виразі має різне значення, - це фактично різні і незалежні між собою змінні. Для уникнення непорозумінь у таких випадках відповідну змінну в підінтегральному виразі можна замінити:

Отримали приклад функції, аргументом якої є змінна верхня границя визначенного інтегралу.

У формулі для обчислення пройденого шляху

можна вважати верхню межу інтегрування змінною, невизначеною, величиною. Скажімо, в підручниках можна зустріти вираз:

.

В цьому виразі буква t зустрічається тричі. Скрізь вона має різний зміст ! У запису буква t означає змінну інтегрування, в запису dt — букви d і t взагалі не можна відірвати одна від одної, тут запис dt має зміст приросту аргументу . Змінна у підинтегральному виразі має “час життя” лише до моменту обчислення інтегралу; після того вона “вмирає” і “зникає безслідно”. Отже, у підинтегральному виразі можна в будь-який момент замінити букву змінної інтегрування на будь-яку іншу букву. Буква t , якою позначена верхня межа інтегрування, не зникає, а залишається як аргумент утвореної фунцїї — інтегралу як функції верхньої межі інтегрування. При розв’язанні конкретних прикладів все ж краще, щоб уникнути небажаних коллізій, зробити відповідні заміни букв. У нашому випадку можна, наприклад, зробити так:

.

Після зауваження про зміст змінних, присутніх у запису інтегралу, можна сформулювати дуже важливу властивість інтегралу зі змінною верхньою межею:

Теорема. Похідна від інтегралу зі змінною верхньою межею, який розглядається як функція цієї змінної межі, дорівнює підинтегральній функції.

.

Для доведення достатньо скористатись геометричним тлумаченням визначеного інтегралу і розглянути малюнок:

Вправа. Виконати аналітичне доведення теореми.

19.6. Первісна функція і невизначений інтеграл.

Означення. Нехай – довільна функція. Функція називається первісною, якщо її похідна дорівнює :

,

інакше кажучи, первісна функція для даної функції отримана за допомогою дії, оберненої до операції диференціювання.

Теорема (про множину всіх первісних функцій для даної функції).

Нехай – довільна функція, тоді будь-які дві первісні функції для даної функції різняться хіба що константою:

,

інакше кажучи, якщо — це деяка функція, для якої функція є первісною, то множина всіх первісних для функцій вичерпується множиною:

.

Д о в е д е н н я. Строге доведення грунтується на одній з основних теорем диференціального числення – теоремі Лагранжа. Теорема Лагранжа, в свою чергу випливає з теореми Ролля, яка в свою чергу, випливає з теореми Вейєрштрасса про неперервні функції.

Г е о м е т р и ч н е д о в е д е н н я. Розглянемо різницю первісних функцій і візьмемо від неї похідну:

Якщо деяка функція не є тотожньою константою, то вона обов’язково десь має або зростати, або спадати, а тоді „десь там” її похідна має бути або додатною, або від’ємною. Функція з тотожньо нульовою похідною не може бути не константою.Отже,

Теорему доведено.

Приклад. Нехай . Тоді кожна з функцій

є первісною для . В цьому переконуємось безпосереднім диференціюванням функцій .

Доведена в п. 20.4 властивість інтегралу зі змінною верхньою межею:

.

говорить про те, що інтеграл є первісною функцією для ,

інакше кажучи, серед первісних для даної функції є напіввизначений інтеграл, в якому дана функція є підинтегральною функцією.

Отже, достатньо мати одну, яку-небудь, первісну для даної функції, і тоді, додаючи до неї довільні константи, ми отримаємо всю сукупність первісних для даної функції. За таку “базову” первісну для функції можна взяти напіввизначений інтеграл : . І, таким чином, всю множину первісних для функції можна подати у вигляді :

.

Цей висновок є підставою означення невизначеного інтегралу:

Означення. Вираз , де — деяка первісна функція для , а C — довільна стала, називають невизначеним інтегралом функції і позначають символом

.

Отже, зокрема, має місце така рівність:

.