§ 16. Збiжнiсть I гpаницi числових послiдовностей.

Поняття послідовності. Означення збiжностi i гpаницi числової послiдовностi. Пpиклади (збiжної та pозбiжної послiдовностей, коpектне введеня поняття суми всiх членiв нескiнченно спадної геометpичної пpогpесiї). Означення границі. Поняття околу числа. Означення гpаницi на мовi околiв. Поняття нескiнченно малих та нескiнченно великих величин. Властивостi опеpацiї гpаничного пеpеходу для послiдовностей: єдиність границі; гpаниця суми, piзниці, добутку, частки послiдовностей. Пpиклади обчислення гpаниць. Означення дiйсного числа як гpаницi послiдовностi pацiональних чисел. Стpоге означення степеня з ippацiональним показником. Чудові (особливі) границі.

16.1. Поняття числової послідовності.

Поняття послідовності є одним з первісних математичних понять. Фактично це поняття є неозначуваним, хоча, звичайно, воно пов’язане з іншими фундаментальними поняттями. Наприклад, можна сказати, що послідовність – це деяка сукупність деяких об’єктів, занумерованих натуральними числами. Або: послідовність – це упорядкована зліченна множина. Але після таких „означень” інтуїтивно ясне поняття послідовності, можливо, навіть втрачає свою ясність. Найкраще для розуміння – тримати в уяві найтиповіші, найхарактерніші приклади послідовностей:

Приклад 1.

Найбільш наочним прикладом числової послідовності є натуральний ряд чисел:

1, 2, 3, ..., n, ... .

Приклад 2.

Арифметична прогресія - це послідовність чисел

,

в якій кожне наступне число більше від попереднього на фіксовану величину, яка називається різницею арифметичної прогресії:

(натуральний ряд чисел є частинним випадком арифметичної прогресії).

Приклад 3.

Геометрична прогресія - послідовність, в якій кожний наступний елемент дорівнює попередньому, помноженому на сталу величину q, яка називається знаменником геометричної прогресії.

,

.

Приклад 4.

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...

– послідовність десяткових наближень числа . Елементи цієї послідовності все ближче і ближче підходять до „істинного” значення :

Приклад 5. Алгоритм знаходження значення .

Проілюструємо роботу алгоритму при обчисленні .

Наприклад, при застосуванні алгоритму для обчислення , маємо:

1
24 4	100 96
281 1		400 281
2824 4			11900 11296
28282 2				60400 56564
282841 1					383600 282841
						100759

Подібно до послідовності десяткових наближень числа елементи ...

Цей алгоритм послідовно, одну за одною, знаходить цифри розкладу у нескінченний неперіодичний десятковий дріб, отже, послідовно наближає нас до точного значення .

Вправа. Описати алгоритм знаходження за наведеним прикладом його роботи.

Розгорнутий запис послідовності (перелік членів послідовності):

.

Запис послідовності як упорядкованої множини (з вказанням загального члена послідовності):

.

Часто зустрічається словосполучення: „послідовність ”; це означає, що розглядається послідовність з загальним членом .

Повертаючись до питання про визначення поняття послідовності, зазначимо, що елементи послідовності можна розглядати як значення деякої функції, аргументом якої є величина, що набуває дискретних значень 1, 2, 3, ... . Наприклад, послідовність з загальним членом це функція . При такому погляді на послідовність для неї вживається назва варіанта.